【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)解三角形应用举例 理 北师大版

-1-第七节解三角形应用举例【考纲下载】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1．“仰角、俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的”．这种说法正确吗？提示：正确．2．“方位角和方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系”，这种说法是否正确？提示：正确．1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：选B根据仰角和俯角的定义可知α＝β.-2-2．(教材习题改编)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akm解析：选B在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，故|AB|＝3a.3．在上题的条件下，灯塔A在灯塔B的方向为()A．北偏西5°B．北偏西10°C．北偏西15°D．北偏西20°解析：选B由题意可知∠A＝∠B＝30°，又CB与正南方向线的夹角为40°，故所求角为40°－30°＝10°，即灯塔A在灯塔B的方向为北偏西10°.4．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/小时．解析：由题意知，在△PMN中，PM＝68海里，∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.由正弦定理，得MNsin120°＝68sin45°，解得MN＝346海里，故这只船航行的速度为3464海里＝1762海里/小时．答案：17625．某运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，则旗杆的高度为________米．解析：如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得106sin30°＝BCsin45°，所以BC＝206×22＝203m，在Rt△CBD中，CD＝BCsin60°＝203×32＝30m.答案：30-3-高频考点考点一测量距离问题1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度：(1)测量问题；(2)行程问题．[例1](1)(2011·上海高考)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是________千米．(2)(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝1213，cosC＝35.①求索道AB的长；②问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？[自主解答](1)如图，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理ACsinB＝ABsinC，得AC＝AB·sinBsinC＝2×3222＝6千米．(2)①在△ABC中，因为cosA＝1213，cosC＝35，所以sinA＝513，sinC＝45.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsinC＝ACsinB，得AB＝ACsinB×sinC＝12606365×45＝1040m.所以索道AB的长为1040m.②假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2－70t＋50)，-4-因0≤t≤1040130，即0≤t≤8，故当t＝3537min时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理BCsinA＝ACsinB，得BC＝ACsinB×sinA＝12606365×513＝500m.乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550m，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得125043≤v≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在125043，62514(单位：m/min)范围内．[答案](1)6测量距离问题的常见类型及解题策略(1)测量问题．首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)行程问题．首先根据题意画出图形，建立三角函数模型，然后运用正、余弦定理求解．1．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为________．解析：∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AB＝AC，∴河宽为12AC＝60m.答案：60m2．如图，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20km后到达D处，测得C，D两处的距离为21km，这时此车距离A城多少千米？解：在△BCD中，BC＝31km，BD＝20km，CD＝21km，由余弦定理得cos∠BDC＝BD2＋CD2－BC22BD·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，所以cos∠ADC＝17，sin∠ADC＝437，在△ACD中，由条件知CD＝21km，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝32×17＋12×437＝5314.由正弦定理ADsin∠ACD＝CDsinA，所以AD＝2132×5314＝15km，故这时此车距离A城15千米．-5-考点二测量高度问题[例2]某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．[自主解答]如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40m，此时∠DBF＝45°.过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°.在△BCD中，CD＝40m，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，则BD＝40sin30°sin135°＝202.∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED中，BE＝BDsin15°＝202×6－24＝10(3－1)m.在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，则AB＝BEtan30°＝103(3－3)m.故塔高为103(3－3)米．【互动探究】在本例条件下，若该人行走的速度为6km/h，则该人到达测得仰角最大的地方时，走了几分钟？解：设该人走了xm时到达测得仰角最大的地方，则xtan30°＝(40－x)tan15°，即x40－x＝tan15°tan30°＝3tan15°＝3tan(45°－30°)＝23－3.解得x＝10(3－3)．又v＝6km/h＝100m/min，故所用时间t＝－3100＝3－310min.即该人到达测得仰角最大的地方时，走了3－310分钟．【方法规律】解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合．如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α＝60°，在塔底C处测得A处的俯角为β＝45°，已知铁塔BC部分的高为243m，则山高CD＝________m.-6-解：由已知条件可得tan∠BAD＝BDAD，tan∠CAD＝CDAD，则tan∠BAC＝tan(60°－45°)＝BDAD－CDAD1＋BDAD×CDAD＝BC·ADAD2＋BD·CD＝243·CDCD2＋3＋CDCD＝123123＋CD＝2－3，解得CD＝(36＋123)m.答案：36＋123考点三测量角度问题[例3]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．[自主解答](1)法一：设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝900t2＋400－2·30t－＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300，故当t＝13时，Smin＝103，v＝10313＝303海里/小时，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇，如图所示．在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝103，AC＝20sin30°＝10，又AC＝30t，OC＝vt，故t＝1030＝13，v＝10313＝303海里/小时．即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示则-7-v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，即v2＝900－600t＋400t2.∵0＜v≤30，∴900－600t＋400t2≤900，即2t2－3t≤0，解得t≥23.又t＝23时，v＝30.故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．【方法规律】解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解：如题中图所示，在