《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第1章三角函数章末复习

本课时栏目开关画一画研一研章末复习课画一画·知识网络、结构更完善本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型一数形结合思想在三角函数中的应用例1已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A0，ω0，|φ|π2)在一个周期内的简图如图所示，则函数g(x)＝f(x)－lgx零点的个数为________．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课解析显然A＝2.研一研·题型解法、解题更高效由图象过(0,1)点，则f(0)＝1，即sinφ＝12，又|φ|π2，则φ＝π6.又11π12，0是图象上的点，则f11π12＝0，即sin11π12ω＋π6＝0，由图象可知，11π12，0是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点．∴11π12ω＋π6＝2π.∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin(2x＋π6)．以下，在同一坐标系中作函数y＝2sin2x＋π6和函数y＝lgx的示意图如图所示：本课时栏目开关画一画研一研章末复习课因为f(x)的最大值为2，令lgx＝2，得x＝100，令1112π＋kπ100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而1112π＋31π100，所以在区间(0,100]内有31个形如1112π＋kπ，1712π＋kπ(k∈Z,0≤k≤30)的区间，在每个区间上y＝f(x)与y＝lgx的图象都有2个交点，故这两个函数图象在11π12，100上有2×31＝62个交点，另外在0，1112π上还有1个交点，所以方程f(x)－lgx＝0共有实根63个．研一研·题型解法、解题更高效∴函数g(x)＝f(x)－lgx共有63个零点．小结运用数形结合的思想化抽象为直观，使问题简单明了，数形结合在三角函数中有着广泛的应用．答案63本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练1若0xπ2，则2x与πsinx的大小关系是_______．①2xπsinx②2xπsinx③2x＝πsinx④与x的取值有关研一研·题型解法、解题更高效解析在同一坐标平面内作出函数y＝2x与函数y＝πsinx的图象，如图所示．观察图象易知：当x＝0时，2x＝πsinx＝0；当x＝π2时，2x＝πsinx＝π；当x∈0，π2时，函数y＝2x是直线段，而曲线y＝πsinx是上凸的．所以2xπsinx．②本课时栏目开关画一画研一研几何画板演示章末复习课题型二分类讨论思想在三角求值中的应用例2已知cosθ＝m，|m|≤1，求sinθ、tanθ的值．研一研·题型解法、解题更高效解(1)当m＝0时，θ＝2kπ±π2，k∈Z；当θ＝2kπ＋π2时，sinθ＝1，tanθ不存在；当θ＝2kπ－π2时，sinθ＝－1，tanθ不存在．(2)当m＝1时，θ＝2kπ，k∈Z，sinθ＝tanθ＝0.当m＝－1时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sinθ＝tanθ＝0.(3)当θ在第一、二象限时，sinθ＝1－m2，tanθ＝1－m2m.(4)当θ在第三、四象限时，sinθ＝－1－m2，tanθ＝－1－m2m.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课小结已知角的某一个三角函数值为字母时，注意对字母是否为0、±1及分象限作讨论，讨论标准要统一．在三角函数部分，有不少题目都涉及到分类讨论的思想．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练2函数f(x)＝sinπx2，－1x0，ex－1，x≥0.若f(1)＋f(a)＝2，则a的值为________．研一研·题型解法、解题更高效解析∵f(1)＝e1－1＝1，∴f(a)＝1.当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，∴a－1＝0，∴a＝1；当－1a0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，∴πa2＝2kπ＋π2，k∈Z，∴a2＝2k＋12，k∈Z，k只能取0，此时a2＝12，∴a＝－22.1或－22本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型三转化与化归思想在三角函数中的应用例3已知函数f(x)＝－sin2x－asinx＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a0，求a、b的值．研一研·题型解法、解题更高效解令t＝sinx，则g(t)＝－t2－at＋b＋1＝－t＋a22＋a24＋b＋1，且t∈[－1,1]．下面根据对称轴t0＝－a2与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论．①当－a2≤－1，即a≥2时，ymax＝g－1＝a＋b＝0，ymin＝g1＝－a＋b＝－4.解之得a＝2，b＝－2.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课②当－1－a20，即0a2时，研一研·题型解法、解题更高效ymax＝g－a2＝a24＋b＋1＝0，ymin＝g1＝－a＋b＝－4.解得a＝2，b＝－2(舍)或a＝－6，b＝－10.(舍)都不满足a的范围，舍去．综上所述，a＝2，b＝－2.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课小结转化与化归的思想方法是数学中最基本的数学思想方法．数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．上述解答将三角函数问题转化为熟悉的二次函数在闭区间上的最值问题．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练3已知定义在(－∞，3]上单调减函数f(x)使得f(1＋sin2x)≤f(a－2cosx)对一切实数x都成立,求a的取值范围.研一研·题型解法、解题更高效解根据题意，对一切x∈R都成立，有：1＋sin2x≤3a－2cosx≤3a－2cosx≤1＋sin2x⇔sin2x≤2a≤2cosx＋3a≤1＋sin2x＋2cosx⇔a≤2cosx＋3mina≤1＋sin2x＋2cosxmin⇔a≤1a≤[－cosx－12＋3]min⇔a≤1a≤－1，∴a≤－1.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研