细说矩形折叠题

..细说矩形折叠题为了考查同学们的数行结合思想的运用和空间想象能力，近年来中考中出现众多的折叠问题。解决这类问题的关键是要根据轴对称图形的性质，弄清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠前后图形之间的关系以及哪些条件可以用。下面分类说明矩形中折叠问题的求解策略。一、折叠后求长度例1、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（）A．1B．2C．2D．3解析：由对称的性质，易得BC=CO，则四边形AECF为菱形，则AC=2CO，所以AC=2BC，又四边形ABCD是矩形，所以∠B=90°，则在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2－BC2=AB2，所以3BC2=9，则BC=3。所以边BC的长是3厘米。评注：本题在应用矩形和菱形的性质的同时，充分运用了对称的性质和勾股定理等知识，既考查了同学们的空间想象能力，同时考查同学们综合运用知识的能力。二、折叠后求角度例2、将矩形纸片ABCD（图3－1）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图3－2）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3－3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（）ABCDFEOABCD图2图1..图3－1图3－2图3－3（A）60°（B）67.5°（C）72°（D）75°解析：解决本题的关键是要能想象出折叠的整个过程，或动手操作展示折叠过程，然后利用轴对称的性质进行求解。如图3－2的虚线就是折叠的过程，在第一次折叠时，可得∠BAE=∠EAF=45°，再由第二次折叠，可得∠EA1F=∠EAF=45°，∠AFE=∠EFA1=21∠AFA1，又因为在矩形ABCD中，因为AD∥BC，∠EA1F+∠AFA1=180°，所以∠AFA1=135°，所以∠AFE=67.5°。故选B。评注：本题对动手操作能力和空间想象能力要求较高，因为是连续折叠，所以想象有点困难，解决问题的最好办法就是动手操作后，再画出折痕，明确折叠前后的图形，找出它们之间的关系（如角之间的关系），然后充分利用这些关系求解。三、折叠后判形状例3、如图4，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是图4..A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形解析：最简单的方法就是取一张纸动手操作一下，即拿一张纸片，按照已知的步骤折叠，然后剪出图形，展开后，就会发现图形是正六边形。其实也不难想象，首先对折一次，然后又分成三份折叠，显然是六份，所以选D。评注：“折纸判形状”一直是考试的热点，主要考查同学们的动手操作能力，和活跃考试气氛。通过实践获得知识比直接听讲获得知识的效果好，解决问题最可靠的方法就是动手操作。四、折叠后探规律例4、如图5，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处．（1）说明：BEBF；（2）设AEaABbBFc，，，试猜想abc，，之间有何等量关系，并给予证明．解析：由题意得BFBF，BFEBFE，在矩形ABCD中，ADBC∥，BEFBFE，BFEBEF．BFBE．BEBF．（2）因为AE=a，AB=b，在Rt△ABE中，在可猜想abc，，之间存在关系：222abc．下面只需说明BF=BE即可。由题意知，AEAEABAB，．由（1）知BEBF．ABCDFABE图2..在RtAEB△中，90AAEaABbBEc，，，，222abc。评注：在折叠中，经常会出现角相等，而矩形中又有对边平行的条件，这两者结合就会出现等腰三角形，充分利用这一特征，可以帮助我们顺利解决问题。折叠矩形中的计算折叠矩形中这类计算，形式多样，新颖独特，有利于考查同学们的空间想象能力和动手操作能力。解决这类问题应把握两点：①折叠前后折痕(即对称轴)两侧的图形是全等图形；②折叠前后对应点的连线被折痕((即对称轴)垂直平分。解决这类问题的基本方法是利用勾股定理构建方程。下面将有关的计算进行归纳整理，供同学们参考。一、角度的计算例1、如图1，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=500，求∠AEF的度数。分析：因为EF为折痕，所以它就是对称轴，由此可得，对应角∠BFE=∠2，利用∠1的度数求出∠BFE的度数，再利用AD∥BC，就可求出∠AEF的度数。解：由题意得，对应角∠BFE=∠2∵∠1=500∴∠BFE=∠2=0001(18050)652又∵四边形ABCD为矩形∴AD∥BC∴0180AEFBFE..00018065115AEF即答：∠AEF的度数为1150。二、边长的计算例2、如图2，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处。若AB=8，且⊿ABF的面积为24，求EC的长。分析：因为折痕AE是对称轴，所以⊿AEF≌⊿AED，此时AD=AF，DE=FE。先利用⊿ABF的面积求出BF的长，再利用勾股定理求出AF的长，然后在Rt⊿ECF中，利用勾股定理就构建起方程，从而求出EC的长。解：由题意可得⊿AEF≌⊿AED，∴DE=FE，AD=AF=BC∵⊿ABF的面积为24∴1242ABBF即18242BF解得，BF=6在Rt⊿ABF中，22228610AFABBF∴CF=BC－BF=4设EC=x，则DE=EF=DC－DE=8－x在Rt⊿EFC中，∴EF2=FC2+EC2即(8－x)2=42＋x2解得x=3答：EC的长是3。例3、如图3，是一矩形的纸片，其中AD=2.5，AB=1.5。按下列步骤折叠：将其对折，使AB落在AD上，折痕为AE，再将⊿ABE以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则CF的长是()A.0.5B.0.75C.1D.1.25..解析：第一次折叠，AE为折痕，所以可得AB=BE=1.5，BD=CE=1，即⊿ABE为等腰直角三角形，得到∠AEB=450；第二次折叠，BE为折痕，得到∠CEF=450，所以⊿CEF为等腰直角三角形，于是可得CE=CF=1。故选C三、折痕的计算例4、有一矩形纸片，其中宽AB=6cm，长BC=8cm。现按如图4所示的方法作折纸游戏，将它折叠使B点与D点重合，求折痕EF的长。点拨：本题中折痕EF为对称轴，点B与点D为对应点。若连结BD，则BD被EF垂直平分，可得OB=OD，进而证得OE=OF。在Rt⊿ABE中，利用勾股定理建立起方程，求出BE的长，再在Rt⊿BEO中，利用勾股定理就可求出OE的长。解：连结BD交EF于O点，连结BE∵EF为对称轴，点B与点D为对应点∴EF垂直平分BD，∴OB=OD，DE=BE，由此可得,⊿DOE≌⊿BOF∴OE=OF设DE=xcm，则AE=AD－DE=(8－x)cm在Rt⊿ABE中，∵BE2=AB2＋AE2∴x2=62＋(8－x)2解得，x=254在Rt⊿ABD中,22226810()BDABADcm，∴OB=15()2BDcm在Rt⊿BEO中,22222515()5()44OEBEOBcm∴EF=2OE=15()2cm..答：折痕EF的长是152cm。四、面积的计算例5、如图5，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点'C处，'BC交AD于E。已知AD=8，AB=4，求⊿BDE的面积。分析：因为∠A=900，所以⊿BDE的面积=12DEAB，AB的长已知，求DE的长就是本题的突破口了。根据折叠的特性可得12，进而可证得⊿BDE为等腰三角形，得到BE=DE，在Rt⊿'DEC中，利用勾股定理建立方程，就可求出DE的长。解：由题意可知⊿BDC≌⊿BD'C∴C='C=900'8BCBC'4DCDC12又∵AD∥BC∴∠1=∠3∴∠2=∠3即EB=ED在Rt⊿D'CE中,设DE=x,则'8ECx∴2'2'2DECDCE即222(8)4xx解得x=5∴⊿BDE的面积=12DEAB=154102答：⊿BDE的面积是10。实战练习：1、如图1，是一矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，现作折纸游戏，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。..2、在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。①求EF的长;②求梯形ABCE的面积.参考答案1、5.8cm。点拨：折痕EF为对称轴,点B与点D是对应点，所以DE=BE。在Rt⊿ADE中，设DE=xcm，则AE=(10－x)cm，根据勾股定理得，x2=42＋(10－x)2，解得x=5.8(cm)；2、①EF=3；②梯形ABCE的面积是39。提示：①设EF=x，由题意得，∵⊿CDE≌⊿CFE，∴DE=EF=x，CF=CD=6。在Rt⊿ABC中，22226810ACABBC，∴AF=AC－CF=4AE=AD－DE=8－x在Rt⊿AEF中，∵AE2=AF2＋EF2∴(8－x)2=42＋x2解得x=3∴AE=8－3=512S梯形ABCE（AE+BC）AB=39..