复数练习(含答案)

复数基础练习题一、选择题1．下列命题中：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；③x＋yi＝2＋2i⇔x＝y＝2；④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．32．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．a为正实数，i为虚数单位，z＝1－ai，若|z|＝2，则a＝()A．2B.3C.2D．14．(2011年高考湖南卷改编)若a，b∈R，i为虚数单位，且ai＋i2＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1D．a＝1，b＝－15．复数z＝3＋i2对应点在复平面()A．第一象限内B．实轴上C．虚轴上D．第四象限内6．设a，b为实数，若复数1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，则()A．a＝32，b＝12B．a＝3，b＝1C．a＝12，b＝32D．a＝1，b＝37．复数z＝12＋12i在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z等于()A．3＋iB．3－IC．－3－iD．－3＋i9．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于()A．－34＋iB.34－IC．－34－iD.34＋i10．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝()A．0B．2iC．6D．6－2i11．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为()A．5－6iB．3－5iC．－5＋6iD．－3＋5i12．向量OZ1→对应的复数是5－4i，向量OZ2→对应的复数是－5＋4i，则OZ1→＋OZ2→对应的复数是()A．－10＋8iB．10－8iC．0D．10＋8i13．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是()A.115B.3IC.115＋3iD.115＋23i15．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝()A．1－3iB．11i－2C．i－2D．5＋5i16．复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为()A．5B.5C．6D.617．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为()A．0B．1C.22D.1218．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值为()A．2B．3C．4D．519．(2011年高考福建卷)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则()A．i∈SB．i2∈SC．i3∈SD.2i∈S20．(2011年高考浙江卷)把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·z＝()A．3－iB．3＋IC．1＋3iD．321．化简2＋4i1＋i2的结果是()A．2＋iB．－2＋IC．2－iD．－2－i22．(2011年高考重庆卷)复数i2＋i3＋i41－i＝()A．－12－12iB．－12＋12IC.12－12iD.12＋12i23．(2011年高考课标全国卷)复数2＋i1－2i的共轭复数是()A．－35iB.35iC．－iD．i24．i是虚数单位，(1＋i1－i)4等于()A．iB．－IC．1D．－125．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝()A．4＋2iB．2＋IC．2＋2iD．3＋i26．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则zz等于()A．iB．－iC．±1D．±i27．(2010年高考浙江卷)对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A．|z－z|＝2yB．z2＝x2＋y2C．|z－z|≥2xD．|z|≤|x|＋|y|二、填空题28．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．29．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．30．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－3－2i，z4＝3－2i，z1，z2，z3，z4在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC＋∠ADC＝________.31．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，则向量AB→表示的复数是________．32．已知f(z＋i)＝3z－2i，则f(i)＝________.33．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.34．(2010年高考上海卷)若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·z＋z＝________.35．(2011年高考江苏卷)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．36．已知复数z满足|z|＝5，且(3－4i)z是纯虚数，则z＝________.答案一、选择题1．解析：选A.在①中没有注意到z＝a＋bi中未对a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如：若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，从而由z21＋z22＝0⇒/z1＝z2＝0，故②错误；在③中若x，y∈R，可推出x＝y＝2，而此题未限制x，y∈R，故③不正确；④中忽视0·i＝0，故④也是错误的．故选A.2．解析：选D.∵π22π，∴sin20，cos20.故z＝sin2＋icos2对应的点在第四象限．故选D.3．解析：选B.|z|＝|1－ai|＝a2＋1＝2，∴a＝±3.而a是正实数，∴a＝3.4．解析：选D.ai＋i2＝－1＋ai＝b＋i，故应有a＝1，b＝－1.5．解析：选B.∵z＝3＋i2＝3－1∈R，∴z对应的点在实轴上，故选B.6．解析：选A.由1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i得a－b＝1a＋b＝2，解得a＝32，b＝12.7．解析：选A.∵复数z在复平面上对应的点为12，12，该点位于第一象限，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．8．解析：选B.由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.∴n2＋mn＋2＝02n＋2＝0，解得m＝3n＝－1，∴z＝3－i.9．解析：选D.设z＝x＋yi(x、y∈R)，则x＋yi＋x2＋y2＝2＋i，∴x＋x2＋y2＝2，y＝1.解得x＝34，y＝1.∴z＝34＋i.10．解析：选D.由z＋i－3＝3－i，知z＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.11．解析：选A.(－i＋3)－(－2＋5i)＝(3＋2)－(5＋1)i＝5－6i.12．解析：选C.OZ1→＋OZ2→对应的复数是5－4i＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i＝0.13．解析：选D.∵z1＋z2＝(3－4i)＋(－2＋3i)＝(3－2)＋(－4＋3)i＝1－i，∴z1＋z2对应的点为(1，－1)，在第四象限．14．解析：选C.设这个复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝5＋3i，即a＋a2＋b2＋bi＝5＋3i，∴b＝3a＋a2＋b2＝5，解得b＝3a＝115.∴z＝115＋3i.15．解析：选D.先找出z1－z2，再根据求函数值的方法求解．∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，∴z1－z2＝(3＋2)＋(4＋1)i＝5＋5i.∵f(z)＝z，∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.故选D.16．解析：选D.|z1－z2|＝|(cosθ－sinθ)＋2i|＝cosθ－sinθ2＋4＝5－2sinθcosθ＝5－sin2θ≤6.17．解析：选C.|z＋1|＝|z－i|表示以(－1,0)、(0,1)为端点的线段的垂直平分线，而|z＋i|＝|z－(－i)|表示直线上的点到(0，－1)的距离，数形结合知其最小值为22.18解析：选B.法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则有|x＋yi＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1，所以根据复数模的计算公式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，又|z－2－2i|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝x－22＋y－22＝x－22＋1－x＋22＝1－8x.而|x＋2|≤1，即－3≤x≤－1，∴当x＝－1时，|z－2－2i|min＝3.法二：利用数形结合法．|z＋2－2i|＝1表示圆心为(－2,2)，半径为1的圆，而|z－2－2i|＝|z－(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)的距离，由数形结合知，其最小值为3，故选B.19．解析：选B.因为i2＝－1∈S，i3＝－i∈/S，2i＝－2i∈/S，故选B.20．解析：选A.(1＋z)·z＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.21．解析：选C.2＋4i1＋i2＝2＋4i2i＝1＋2ii＝2－i.故选C.22．解析：选C.i2＋i3＋i41－i＝－1－i＋11－i＝－i1－i＝－i1＋i1－i1＋i＝1－i2＝12－12i.23．解析：选C.法一：∵2＋i1－2i＝()2＋i()1＋2i()1－2i()1＋2i＝2＋i＋4i－25＝i，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.法二：∵2＋i1－2i＝－2i2＋i1－2i＝i()1－2i1－2i＝i，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.24．解析：选C.(1＋i1－i)4＝[(1＋i1－i)2]2＝(2i－2i)2＝1.故选C.25．解析：选A.∵z1＝1＋i，z2＝3－i，∴z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i－i－i2＝3＋2i＋1＝4＋2i.故选A.26．解析：选D.法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi，由z＋z＝4，z·z＝8得，x＋yi＋x－yi＝4，x＋yix－yi＝8.⇒x＝2x2＋y2＝8⇒x＝2y＝±2.∴zz＝x－yix＋yi＝x2－y2－2xyix2＋y2＝±i.法二：∵z＋z＝4，设z＝2＋bi(b∈R)，又z·z＝|z|2＝8，∴4＋b2＝8，∴b2＝4，∴b＝±2，∴z＝2±2i，z＝2∓2i，∴zz＝±i.27．解析：选D.∵z＝x－yi(x，y∈R)，|z－z|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴A不正确；对于B，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；∵|z－z|＝|2y|≥2x不一定成立，∴C不正确；对于D，|z|＝x2＋y2≤|x|＋|y|，故D正确．二、填空题28．解析：复数z在复平面上对应的点为(m－3,2m)，∴m－3＝2m，即m－2m－3＝0.解得m＝9.答案：929．解析：∵|z|＝3，∴x＋12＋y－22＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以O′(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆30．解析：|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝5，所以点A，B，C，D应在以原点为圆心，5为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD对角互补，所以∠ABC＋∠ADC＝180°.31．解析：AB→表示OB→－OA→对应的复数，由－2－5i－(4＋3i)＝－6－8i，知AB→对应的复数是－6－8i.答案：－6－8i32．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则f[a＋(b＋1)i]＝3(a＋bi)－2i＝3a＋(3b－2)i，令a＝0，b＝0，则f(i)＝－2i.答案：－2i33．解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，∴a2－a－2＝0，a2＋a－6≠0，解得a＝－1.34．解析：∵z＝1－2i，∴z·z＝|z|2＝5.∴z·z＋z＝6－2i.答案：6－2i35．解析：设z＝a＋bi(a、b∈R)