复合函数微分-不定积分-定积分

二、复合函数的求导法则设)(ufy，)(xu都可导，则复合函数))((xfy也可导，且)()(xufy或dxdududydxdy（复合函数最终变量)=（复合函数中间变量)×（中间变量最终变量)推广),(),(),(xvvuufy设.)]}([{dxdvdvdududydxdyxfy的导数为则复合函数例4.)1(102的导数求函数xy解)1()1(10292xxdxdyxx2)1(1092.)1(2092xx例xxcossinxsin是xcos的原函数.)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.一、原函数与不定积分的概念例微分运算与求不定积分的运算是互逆的.任意常数积分号被积函数不定积分的定义：在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、基本积分表基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;ln)3(Cxxdx0xdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxxdxsinh)14(;coshCxxdxcosh)15(;sinhCx例4求积分.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据积分公式（2）Cxdxx11dxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf三、不定积分的性质dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是常数，)0k问题xdx2cos,2sinCx解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令xt2,21dtdxxdx2cosdttcos21Ctsin21.2sin21Cx一、第一类换元法例1求.2sinxdx解（一）xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cx解（二）xdx2sinxdxxcossin2)(sinsin2xxd;sin2Cx解（三）xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cx例2求.231dxx解,)23(23121231xxxdxx231dxxx)23(23121duu121Culn21.)23ln(21Cx例16求解).0(122adxax令taxtantdtadx2secdxax221tdtata2secsec1tdtsecCtt)tanln(sectax22ax.ln22Caaxax2,2t例17求解.12dxx令txsintdtdxcos2,2tdxx21tdttcossin12tdt2cos2/)2cos1(dtt4/2sin2/ttt1x21x基本积分表;coslntan)16(Cxxdx;sinlncot)17(Cxxdx;)tanln(secsec)18(Cxxxdx;)cotln(csccsc)19(Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa;ln211)22(22Cxaxaadxxa;arcsin1)23(22Caxdxxa.)ln(1)24(2222Caxxdxax;ln211)21(22Caxaxadxax定积分abxyo?A曲边梯形由连续曲线实例1（求曲边梯形的面积）)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.一、问题的提出)(xfyabxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba积分上限积分下限积分和牛顿----莱布尼兹公式连续函数)(xf在区间],[ba上的定积分等于)(xf的原函数)(xF在区间],[ba上的改变量。即babaxFdxxf)()(=)()(aFbF