基于频域抽样法的fir数字带阻滤波器

目录1前言.............................................................................12设计原理.........................................................................12.1线性相位FIR数字滤波器的特点................................................12.2频率抽样法设计原理.........................................................12.3线性相位FIR数字滤波器的约束条件............................................33带阻滤波器设计过程...............................................................33.1带阻滤波器概念.............................................................33.2初始条件解析...............................................................43.3设计步骤...................................................................43.4改善滤波器性能的措施........................................................54MATLAB程序仿真..................................................................55Simulink仿真....................................................错误!未定义书签。6设计心得.........................................................................8参考文献：.........................................................................8武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书11前言数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。根据其单位冲激响应函数的时域特性可分为两类：无限冲激响应（IIR）滤波器和有限冲激响应（FIR）滤波器。与IIR滤波器相比，FIR的实现是非递归的，总是稳定的；更重要的是，FIR滤波器在满足幅频响应要求的同时，可以获得严格的线性相位特性。因此，它在高保真的信号处理，如数字音频、图像处理、数据传输、生物医学等领域得到广泛应用。有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器具有严格的线性相位，又具有任意的幅频特性。同时FIR系统只有零点，系统是稳定的,因而容易实现线性相位和允许实现多通道滤波器。只要经过一定的时延，任何非因果有限长序列都能变成因果的有限长序列，因而总能用因果系统来实现。FIR滤波器由于单位冲激响应是有限长的，可以用快速傅立叶变换(FFT)算法来实现过滤信号，从而大大提高运算效率。由于FIR滤波器具有以上优点，在信号处理和数据传输中得到了广泛的应用。Matlab语言是一种用于科学计算的高效率语言。随着Matlab信号处理工具箱(SignalPro2cessingToolbox)的不断完善,使数字滤波器的计算机辅助设计得以实现。2设计原理2.1线性相位FIR数字滤波器的特点FIR数字滤波器的系统函数无分母，为1010)()(NnnNiiiznhzbzH，系统频率响应可写成：10)()(NnjwnjwenheH，令)(jweH＝)()(wjewH，H(w)称为幅度函数，)(w称为相位函数。这与模和幅角的表示法有所不同，H(w)为可正可负的实数，这是为了表达上的方便。如某系统频率响应)(jweH＝wjwe34sin，如果采用模和幅角的表示法，w4sin的变号相当于在相位上加上)1(je因，从而造成相位曲线的不连贯和表达不方便，而用)()(wjewH这种方式则连贯而方便。线性相位的FIR滤波器是指其相位函数)(w满足线性方程：)(w＝w（,是常数）根据群时延的定义，式中表示系统群时延，表示附加相移。线性相位的FIR系统都具有恒群时延特性，因为为常数，但只有＝0的FIR系统采具有恒相时延特性。FIR滤波器的极点都在原点上，而h(n)是因果稳定的有限长序列，因此H(z)在有限z平面上是稳定的。线性相位FIRDF的零点有自己的特点：它们必定是互为倒数的共轭对。2.2频率抽样法设计原理周期系列的离散傅里叶级数的系数k~X的值和nx~的一个周期的z变换在单位圆的N个均分武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书2点上的抽样值相等，这就实现了频域的抽样。通过有限的频率特性取样值去逼近理想滤波特性，然后由有限的频率特性取样值（如系统冲击响应的DFT）取得系统函数。窗函数设计法是从时域出发，把理想的hd(n)用一定形状的窗函数截取成有限长的h(n)，以h(n)来近似hd(n)，从而使频率相应函数jeH近似理想频率响应jdeH。频率取样法是从频域出发，对理想的频率响应jdeH进行等间隔取样，以有限个频率相应去近似理想频率响应jeH即：)()(2kHeHdkNjd（式2-1）等间隔取样，并且1,...,1,0),()(NkkHkHd相比较而言，窗函数法思路为：)(jwdeH)(nhd)(nh)(jweH；频率抽样法思路为：)(jwdeH)(kHd)(kH)(jweH。对于离散值)(kX有插值公式：]11)([1)(110zWzkXNzXkNNk（式2-2）应用于系统函数得：]11)([1)(110zWzkHNzHkNNk（式2-3）当采样点数N已知后，kNW便是常数，只要采样值)(kH确定，则系统函数)(zH就可确定，要求的FIR滤波器就设计出来了。上式形式的FIR滤波器很容易以频率采样型结构实现。对滤波系统的频率特性有：jkNNkjjezzWzkHNezzHeH]11)([1)()(110（式2-4）代入得：)(]2/)2sin[(]2)2(sin[112/)1(2)2(22)2(2)2(222jkNjNkjNjNkjNkjNjNjjNkjNeeNkNkNeeeeeeeee（式2-5）即)]()([1)(10jkNkjekHNeH其中)(jke为频率取样内插函数。重构的频率响应)(jeH，在采样点上严格等于H(k)，而在采样点之间，频率相应有加权的内插函数延伸叠加而成。武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书32.3线性相位FIR数字滤波器的约束条件若)(2|)()(kjkkNwjwdeHeHkH，其中kH、)(k分别是对幅度函数)(wH和相位函数)(w的第k个抽样。因为)(nh是实数，所以)(kH一定满足共轭偶对称式（3-59）：)()(kNkHHkNk（式2-6）又因为线性性，)(nh满足对称性，所以对一般滤波用的第1、2类FIR滤波器，必须满足条件：NNkwNkkNw)1(|21)(2（式2-7）对于正交网络、微分器（第3、4类FIR滤波器，必须满足条件：NNkwNkkNw)1(2|212)(2（式2-8）综合以上条件，只有当)(kH满足式（式2-6），)(k满足式（式2-7）、（式2-8）之一时，才有线性相位。如果理想频响)(jwdeH给得不好或采样点位置安排得不恰当，都将得不到线性相位。只有当)(jwdeH满足上面的约束条件时，对[0，]区间上抽取一半频率样点，而其余的一半根据约束条件强行推出。3带阻滤波器设计过程3.1带阻滤波器概念数字带阻滤波器也具有频率响应的周期性，频率变量以数字频率来表示（sfT，为模拟角频率，T为抽样时间间隔，sf为抽样频率），所以数字滤波器设计中必须给出抽样频率。图3.1数字带阻滤波器理想幅度频率响应（只表示了正频率部分），这样的理想频率响应是不可能实现的，原因是频带之间幅度响应是突变的，因而其单位抽样响应是非因果的。图3.1理想带阻滤波器的幅频特性一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书4为例，如图3.2所示，频率响应有通带、过渡带和带阻三个范围（非理想的）。在通带内，幅度响应以误差为1逼近于1，即1e1j1H，c（式3-1）在带阻中，幅度响应以误差为2逼近于0，即2jeH，st（式3-2）其中c，st分别为通带截止频率和阻带截止频率，他们都是数字域频率。为了逼近理想低通滤波器特性，还必须有一个非零宽度cst的过渡带，在这个过渡带内的频率响应平滑地从通带下降到阻带。图3.2理想低通滤波器逼近的误差容限3.2初始条件解析本次设计带阻数字滤波器，老师给出了以下初始条件：sec/101.62sec,/1085.02sec,/105.1232314sradradradppdBdBradradstst50,1sec,/106.42sec,/1035.22213231由以上初始条件可以算出：上边带通带截止频率：1133.0105.121085.0222431slsp；同理可得上边带阻带截止频率：3133.0pl；下边带阻带截止频率：6133.0ph；下边带通带截止频率：8133.0sh。由以上结果可以算得过渡带2.0。3.3设计步骤1）选取频率幅度特性的样本点)(kH，)1(~0Nk。样本点数N的选取主要考虑过渡带宽度12)1(NK，其中K为过渡带点数。为了得到线性相位特性样本点)(kH取为实偶对称序列。频率取样法所得FIR滤波器通带和阻带波动主要是由于过渡带的突变引起的。通过在过渡带武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书5优化过渡样点可以得到较好的通带和阻带特性，缺点是过渡带加宽，但可以通过增加样点数N来克服。一般一个过渡样点可以使最小阻带衰耗达-40dB，而2个过渡样点可以使最小阻带衰耗达-60dB。因此，为了满足最小阻带衰减dB502，必须取两个过渡样点才能满足题设要求。将2.0和K=2代入12)1(NK中就可以确定抽样点数N=31。2）根据阻带衰耗指标要求，选取频率幅度特性的过渡带样本点)(kH，）；（其中,,1)(021sskkkkH。由1）分析可以知道K=2，并且，为了更好看出效果，我取：11.0k11THs，59.0k22THs。3）根据傅立叶反变换计算冲击响应系列)(nh（FIR滤波器系数）。102)(1)(NknkjNekHNnh，)1(~0Nn。由于)(nh是对称的)()(nNhnh，所以只要计算2/)1(~0Nn点。3.4改善滤波器性能的措施如果给出的理想低通滤波器在通带的频谱)(jwdeH等于1而阻带为0，则不论样点N取得如何密，在临界频率处总有两个幅度突变的样点，它们之间的落差为1。于是阻带边缘产生反冲和阻尼振荡，其最大幅度取决于sinc[]函数，是个固定的值。这样设计出来的滤波