SPC：直线回归与相关

第八章直线回归与相关前面各章我们讨论的问题，都只涉及到一个变量，如体重、日增重、产仔数、体温、血糖浓度、产奶量、产毛量或孵化率、发病率等。但是，由于客观事物在发展过程中相互联系、相互影响，因而在畜牧、水产等试验研究中常常要研究两个或两个以上变量间的关系。下一张主页退出上一张最高月产、猪瘦肉率与背膘厚度、眼肌面积、胴体长；绵羊产毛量与体重、胸围、体长；3x黑白花奶牛的一胎305天产奶量与、最高日产天数；90天产奶量、最高日产猪的增重与饲料消耗；雏鹅重与70日龄重；绵羊胸围与体长；仔猪初生重与断奶重；例如精品资料网变量间的关系有两类：一类是变量间存在着完全确定性的关系，可以用精确的数学表达式来表示。如长方形的面积（S）与长（a）和宽（b）的关系可以表达为：S=ab。它们之间的关系是确定性的，只要知道了其中两个变量的值就可以精确地计算出另一个变量的值，这类变量间的关系称为函数关系。下一张主页退出上一张精品资料网另一类是变量间不存在完全的确定性关系，不能用精确的数学公式来表示。如黄牛的体长与体重的关系；仔猪初生重与断奶重的关系；猪瘦肉率与背膘厚度、眼肌面积、胴体长等的关系等等，这些变量间都存在着十分密切的关系，但不能由一个或几个变量的值精确地求出另一个变量的值。像这样一类关系在生物界中是大量存在的，统计学中把这些变量间的关系称为相关关系，把存在相关关系的变量称为相关变量。下一张主页退出上一张精品资料网相关变量间的关系一般分为两种:一种是因果关系，即一个变量的变化受另一个或几个变量的影响。如仔猪的生长速度受遗传特性、营养水平、饲养管理条件等因素的影响，子代的体高受亲本体高的影响；另一种是平行关系，它们互为因果或共同受到另外因素的影响。如黄牛的体长和胸围之间的关系，猪的背膘厚度和眼肌面积之间的关系等都属于平行关系。下一张主页退出上一张精品资料网统计学上采用回归分析（regressionanalysis）研究呈因果关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变量，表示结果的变量称为依变量。研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量的回归分析称为一元回归分析；研究“多因一果”，即多个自变量与一个依变量的回归分析称为多元回归分析。一元回归分析又分为直线回归分析与曲线回归分析两种；多元回归分析又分为多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。下一张主页退出上一张精品资料网回归分析的任务是揭示出呈因果关系的相关变量间的联系形式，建立它们之间的回归方程，利用所建立的回归方程，由自变量（原因）来预测、控制依变量（结果）。精品资料网统计学上采用相关分析(correlationanalysis)研究呈平行关系的相关变量之间的关系。对两个变量间的直线关系进行相关分析称为简单相关分析（也叫直线相关分析）；对多个变量进行相关分析时，研究一个变量与多个变量间的线性相关称为复相关分析；研究其余变量保持不变的情况下两个变量间的线性相关称为偏相关分析。下一张主页退出上一张精品资料网第一节直线回归一、直线回归方程的建立对于两个相关变量，一个变量用x表示，另一个变量用y表示，如果通过试验或调查获得两个变量的n对观测值：（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn）下一张主页退出上一张为了直观地看出x和y间的变化趋势，可将每一对观测值在平面直角坐标系描点，作出散点图（见图8-1）。精品资料网从散点图（图8-1）可以看出：②两个变量间直线关系的性质（是正相关还是负相关）和程度（是相关密切还是不密切）；下一张主页退出上一张散点图直观地、定性地表示了两个变量之间的关系。为了探讨它们之间的规律性，还必须根据观测值将其内在关系定量地表达出来。①两个变量间有关或无关;若有关,两个变量间关系类型，是直线型还是曲线型；(依变量)与x(自变量)间的关系是直线关系，根据n对观测值所描出的散点图，如图8—1（b）和图8—1（e）所示。由于依变量y的实际观测值总是带有随机误差，因而依变量y的实际观测值yi可用自变量x的实际观测值xi表示为：iiixy(i=1,2,…,n)（8—1）精品资料网其中:x为可以观测的一般变量(也可以是可以观测的随机变量);y为可以观测的随机变量;这就是直线回归的数学模型。我们可以根据实际观测值对α，β以及方差做出估计。22i为相互独立，且都服从N（0，）的随机变量。、y直角坐标平面上可以作出无数条直线，我们把所有直线中最接近散点图中全部散点的直线用来表示x与y的直线关系，这条直线称为回归直线。下一张主页退出上一张设回归直线的方程为:bxayˆ(8-2)精品资料网其中，a是α的估计值，b是β的估计值。a、b应使回归估计值与实际观测值y的偏差平方和最小，即：0)(2bxayaQ0)(2xbxaybQyˆ根据微积分学中的求极值的方法，令Q对a、b的一阶偏导数等于0，即：22)()ˆ(bxayyyQ最小、b的正规方程组：yxbanxyxbxa2下一张主页退出上一张解正规方程组，得：xxySSSPxxyyxxnxxnyxxyb222)())((/)(/))((（8-3）xbya（8-4）精品资料网（8-3）式中的分子是自变量x的离均差与依变量y的离均差的乘积和，简称乘积和，记作，分母是自变量x的离均差平方和，记作SSX。a叫做样本回归截距，是回归直线与y轴交点的纵坐标，当x=0时，=a；))((yyxxxySP2)(xxyˆ叫做样本回归系数，表示x改变一个单位，y平均改变的数量；b的符号反映了x影响y的性质，b的绝对值大小反映了x影响y的程度;yˆ的估计值。叫做回归估计值，是当x在在其研究范围内取某一个值时，y值平均数x精品资料网回归方程的基本性质：如果将（8-4）式代入（8-2）式，得到回归方程的另一种形式(中心化形式)：下一张主页退出上一张2)ˆ(yyQ性质1最小；0)ˆ(yy性质2；),(yx性质3回归直线通过点。)(ˆxxbybxxbyy（8-5）精品资料网【例8.1】在四川白鹅的生产性能研究中，得到如下一组关于雏鹅重（g）与70日龄重(g)的数据，试建立70日龄重(y)与雏鹅重(x)的直线回归方程。日龄重测定结果（单位：g）下一张主页退出上一张、作散点图以雏鹅重（x）为横坐标，70日龄重（y）为纵坐标作散点图，见图8-3。2、计算回归截距a，回归系数b，建立直线回归方程首先根据实际观测值计算出下列数据：nxx8333.272012/32650/nyy00.168512/1182118112/222nxxSSx00.36585123265011823252610))((nyxxySPxy67.83149112/3265089666700/222nyySSy下一张主页退出上一张、a：7122.2100.168536585xxySSSPb1816.5825.987122.218333.2720xbyaxy7122.211816.582ˆ得到四川白鹅的70日龄重y对雏鹅重x的直线回归方程为：精品资料网根据直线回归方程可作出回归直线，见图8-3。从图8-3看出，并不是所有的散点都恰好落在回归直线上，这说明用去估计y是有偏差的。yˆ下一张主页退出上一张、直线回归的偏离度估计偏差平方和的大小表示了实测点与回归直线偏离的程度，因而偏差平方和又称为离回归平方和。统计学已经证明：在直线回归分析中离回归平方和的自由度为n-2。于是可求得离回归均方为：离回归均方是模型（8-1）中σ2的估计值。离回归均方的平方根叫离回归标准误，记为，即2)ˆ(yy)2/()ˆ(2nyyyxS精品资料网（8-6）离回归标准误Syx的大小表示了回归直线与实测点偏差的程度，即回归估测值与实际观测值y偏差的程度，于是我们把离回归标准误Syx用来表示回归方程的偏离度。)2/()ˆ(2nyySyxyˆ下一张主页退出上一张精品资料网以后我们将证明：（8-7）利用（8-7）式先计算出，然后再代入（8-6）式求Syx。xxyySSSPSSyy/)ˆ(222)ˆ(yy07.371521685/3658583149167/)ˆ(222xxyySSSPSSyy对于【例8.1】有）（gnyySyx9525.60)212/(07.37152)2/()ˆ(2所以精品资料网二、直线回归的显著性检验若x和y变量间并不存在直线关系，但由n对观测值（xi，yi）也可以根据上面介绍的方法求得一个回归方程=a+bx。显然，这样的回归方程所反应的两个变量间的直线关系是不真实的。如何判断直线回归方程所反应的两个变量间的直线关系的真实性呢？这取决于变量x与y间是否存在直线关系。我们先探讨依变量y的变异，然后再作出统计推断。yˆ下一张主页退出上一张、直线回归的变异来源图8-4的分解图)(yy看到：上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有)ˆ()ˆ()(yyyyyy2)(yy2)]ˆ()ˆ([yyyy)ˆ)(ˆ(2)ˆ()ˆ(22yyyyyyyy)]())[((xxbyyxxb下一张主页退出上一张)(ˆxxbybxay由于)(ˆxxbyy所以)ˆ)(()ˆ)(ˆ(yyxxbyyyy于是精品资料网所以有（8-8）反映了y的总变异程度，称为y的总平方和，记为SSy；反映了由于y与x间存在直线关系所引起的y的变异程度，称为回归平方和，记为SSR；)()())((xxbxxbyyxxbxxySSbSPb202xxxyxyxxySSSSSPSPSSSP2)(yy22)ˆ()ˆ(yyyy2)(yy2)ˆ(yy存在直线关系以外的原因，包括随机误差所引起的y的变异程度，称为离回归平方和或剩余平方和，记为SSr。（8-8）式又可表示为：（8-9）这表明y的总平方和剖分为回归平方和与离回归平方和两部分。与此相对应，y的总自由度dfy也划分为回归自由度dfr与离回归自由度dfr两部分，即2)(yyrRySSSSSS下一张主页退出上一张精品资料网（8-10）在直线回归分析中，回归自由度等于自变量的个数，即；y的总自由度；离回归自由度。于是：离回归均方，回归均方。2、回归关系显著性检验—F检验rRydfdfdf1Rdf1ndfy2ndfrrrrdfSSMS/RRRdfSSMS/两个变量间是否存在直线关系