导数运算法则

•第2课时导数的运算法则及复合函数的导数一、导数的四则运算法则条件：f(x),g(x)是可导的.结论：(1)［f(x)±g(x)］′=_______________.(2)［f(x)g(x)］′=______________________.(3)=.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)f(x)[]g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)[g(x)]思考：如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，那么如何求函数f(x)+c与cf(x)的导数？提示：由于常数函数的导数为0，即(c)′=0，由导数的运算法则(1)(2)，得［f(x)+c］′=f′(x)，［cf(x)］′=cf′(x).二、复合函数的求导公式1.复合函数的定义：(1)一般形式是__________.(2)可分解为_______与_______，其中u称为_________.2.求导法则：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为：y′x=__________.y=f(g(x))y=f(u)u=g(x)中间变量y′u·u′x例1指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos3x.解(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的．(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的．(3)y＝cos3x是由函数y＝cosu，u＝3x复合而成的．跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y＝lnx；(2)y＝esinx；(3)y＝cos(3x＋1)．解(1)y＝lnu，u＝x；(2)y＝eu，u＝sinx；(3)y＝cosu，u＝3x＋1.1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析出复合过程；(3)一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数．2．求复合函数导数的方法步骤(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；(2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.规律技巧求复合函数的导数，要分清函数的复合关系，对于分式型的可化为幂的形式求导，关键选好中间变量．最后将中间变量代回到原自变量的函数．变式训练1求下列函数的导数．(1)y＝11＋3x5；(2)y＝sin(x2－π6)；(3)y＝ln(lnx)；(4)y＝e2x2＋1.解(1)令u＝1＋3x，则y＝1u5＝u－5，∴y′x＝y′u·u′x＝－5u－6·3＝－15u－6＝－151＋3x6.(2)令u＝x2－π6，则y＝sinu，∴y′x＝y′u·u′x＝cosu·(x2－π6)′＝2xcosu＝2xcos(x2－π6)．(3)令u＝lnx，则y＝lnu，∴y′x＝y′u·u′x＝1u·1x＝1xlnx.(4)令u＝2x2＋1，则y＝eu，∴y′x＝y′u·u′x＝eu·4x＝4x·e2x2＋1.例2求下列函数的导数．(1)y＝(x2－4)2；(2)y＝log2(2x2＋3x＋1)；(3)y＝esin(ax＋b)分析先将复合函数分解，找出中间变量，然后按复合函数求导公式y′＝y′u·u′x进行求导．解(1)方法1：y＝(x2－4)2＝x4－8x2＋16∴y′＝(x4－8x2＋16)′＝4x3－16x.方法2：y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x＝4x3－16x.(2)y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′＝12x2＋3x＋1ln2·(2x2＋3x＋1)′＝4x＋32x2＋3x＋1ln2.(3)y′＝[esin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)[sin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)·cos(ax＋b)·(ax＋b)′＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)．求简单复合函数f(ax＋b)的导数求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键．