1.3.1函数的单调性与导数教案

1.3.1函数的单调性与导数教案谷城一中杨超教学目标1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法奎屯王新敞新疆教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间.教学难点：利用导数判断函数的单调性教学过程一．回顾与思考1、函数单调性的定义是什么？2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）3、函数xxyln22怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数'()()9.86.5vthtt的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()ht是增函数．相应地，'()()0vtht．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h随时间t的增加而减少，即()ht是减函数．相应地'()()0vtht，【思考】导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？【探究】观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数yx的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数大于零；（2）函数2yx的定义域为R，在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增；而2()2yxx，当0x时，其导数小于零；当0x时，其导数大于零；当0x时，其导数为零。（3）函数3yx的定义域为R，在定义域上为增函数；而32()3yxx，若0x，则其导数大于零，当0x时，其导数为零；（4）函数1yx的定义域为(,0)(0,)，在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递减而211()yxx，因为0x，显然0y.【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间(,)ab内，如果函数()yfx在这个区间内单调递增，那么0'xf；如果函数()yfx在这个区间内单调递减，那么0'xf.【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？知识归纳函数的单调性与导数的关系:在某个区间(,)ab内，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减特别的，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内是常函数．三．典例分析例1．已知导函数'()fx的下列信息：当14x时，'()0fx；当4x，或1x时，'()0fx；当4x，或1x时，'()0fx试画出函数()yfx图像的大致形状．解：当14x时，'()0fx，可知()yfx在此区间内单调递增；当4x，或1x时，'()0fx；可知()yfx在此区间内单调递减；当4x，或1x时，'()0fx，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()yfx图像的大致形状如上图所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3fxxx；（2）2()23fxxx（3）()sin(0,)fxxxx；（4）32()23241fxxxx解：（1）因为3()3fxxx，所以，'22()333(1)0fxxx因此，3()3fxxx在R上单调递增，如图1.3-5（1）所示．（2）因为2()23fxxx，所以，'()2221fxxx当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx单调递增；当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx单调递减；函数2()23fxxx的图像如图1.3-5（2）所示．（3）因为()sin(0,)fxxxx，所以，'()cos10fxx因此，函数()sinfxxx在(0,)单调递减，如图1.3-5（3）所示．（4）因为32()23241fxxxx，所以．当'()0fx，即时，函数2()23fxxx；当'()0fx，即时，函数2()23fxxx；函数32()23241fxxxx的图像如图所示．练习：的单调区间xxyxxxf1)2(114712()ln3()()fxaxaxaRfx已知函数，求的单调区间。求解函数()yfx单调区间的步骤：（1）确定函数()yfx的定义域；（2）求导数''()yfx；（3）解不等式'()0fx，得到函数的单调递增区间；（4）解不等式'()0fx，得到函数的单调递减区间；．例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．解：1,2,3,4BADC思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图1.3-7所示，函数()yfx在0,b或,0a内的图像“陡峭”，在,b或,a内的图像“平缓”．四、小结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()yfx单调区间（3）证明可导函数fx在,ab内的单调性五、习题六、作业设计P26，T1，2P31，习题1.3，T1七、课后教学反思