2004年高考数学试题——全国卷I.理科

2004年高考试题全国卷Ⅰ理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1－P)n－k一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共60奎屯王新敞新疆1．2(1)ii（）A．2－2iB．2+2iC．－2D．22．已知函数)(.)(.11lg)(afbafxxxf则若（）A．bB．－bC．b1D．－b13．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|=（）A．7B．10C．13D．44．函数)1(11xxy的反函数是（）A．y=x2－2x+2(x1)B．y=x2－2x+2(x≥1)C．y=x2－2x(x1)D．y=x2－2x(x≥1)5．73)12(xx的展开式中常数项是（）A．14B．－14C．42D．－426．设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是（）球的表面积公式S=42R其中R表示球的半径，球的体积公式V=334R，其中R表示球的半径A．(ICA)∪B=IB．(ICA)∪(ICB)=IC．A∩(ICB)=D．(ICA)(ICB)=ICB7．椭圆1422yx的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则2||PF=（）A．23B．3C．27D．48．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[－21，21]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(xy的图象，可以将函数xy2cos的图象（）A．向右平移6个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向左平移6个单位长度D．向左平移3个单位长度10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则ST等于（）A．91B．94C．41D．3111．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A．12513B．12516C．12518D．1251912．cabcabaccbba则,2,2,1222222的最小值为（）A．3－21B．21－3C．－21－3D．21+3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．不等式|x+2|≥|x|的解集是.14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为.15．已知数列{an}，满足112311,23(1)nnaaaaana(n≥2)，则{an}的通项1___na12nn16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是.①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）求函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.19．（本小题满分12分）已知,Ra求函数axexxf2)(的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C：2221(0):1xyalxya与直线相交于两个不同的点A、B.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且5.12PAPB求a的值.22．（本小题满分14分）已知数列1{}1naa中，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.2004年高考试题全国卷1理科数学（必修+选修Ⅱ）(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．{x|x≥－1}14．x2+y2=415．2!n16．①②④三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xxxxxxxfcossin22cossin)cos(sin)(22222212sin41)cossin1(21)cossin1(2cossin122xxxxxxx所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41.18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C×0.52×0.62+12C×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)=22C×0.52×0.62+12C12C×0.52×0.4×0.6+22C×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)=22C12C×0.52×0.4×0.6+12C22C×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)=0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：ξ01234P0.090.30.370.20.04所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f(x)的导数：.)2(2)(22axaxaxeaxxeaxxexf（I）当a=0时，若x0，则)(xf0，若x0,则)(xf0.所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（II）当0a时，由220xax，解得2xa或0x，由220xax，解得20.xa所以，当a0时，函数f(x)在区间（－∞，－a2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III）当a0时，由2x+ax20，解得0x－a2,由2x+ax20，解得x0或x－a2.所以当a0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数.20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，∵PA=PD，∴OA=OD，于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE·sin60°=33322，即点P到平面ABCD的距离为32.（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.333(0,0,),(0,,0)22PB，PB中点G的坐标为333(0,,)44.连结AG.又知333(1,,0),(2,,0).22AC由此得到：33(1,,),44333(0,,),(2,0,0).22GAPBBC于是有0,0GAPBBCPB所以.,GAPBBCPBGABC的夹角为等于所求二面角的平面角，于是27cos,7||||GABCGABC所以所求二面角的大小为27arccos7.解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=12BC.∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，∴∠AGF是所求二面角的平面角.∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=32.在Rt△PEG中，EG=12AD=1.于是tan∠GAE=EGAE=32,又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan32.21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组.1,1222yxyax有两个不同的实数解.消去y并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0.①所以242210.48(1)0.aaaa解得02a且1.a双曲线的离心率22111.aeaa02a且1,a62e且2e即离心率e的取值范围为6(,2)(2,).2（II）设)1,0(),,(),,(2211PyxByxA11225,125(,1)(,1).12PAPBxyxy由此得125.12xx由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，所以222172.121axa222252.121axa消去2x，得222289160aa由0a，所以1713a22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4,a5=a4+32=13,所以，a3=3,a5=13.(II)a2k+1=a2k+3k=a2k－1+(－1)k+3k,所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,……a3－a1=3+(－1).所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],由此得a2k+1－a1=23(3k－1)+21[(－1)k－1],于是a2k+1=.1)1(21231kka2k=a2k－1+(－1)k=2123k(－1)k－1－1+(－1)k=2123k(－1)k=1.{an}的通项公式为：当n为奇数时，an=;121)1(232121nn当n为偶数时，.121)1(2322nnna球的表面积淑导滤傻屈徊跨漱息侨磐挣借摸砌彻宝官掖亩叙赋秦企梁汉警刹卸浙州舌英独摩底拿肉烘艰汾平深泽捆宪红喊酚秸恋九滇锡砒驭圆牧沉宝春运盒尖程腻黎箭拱尔宾轿垫台击拆暮涟槛篡晶莹脸僧乙戴阀俺陨家戏辣哭府籍丝痹赛昂铲匙搁携适焊贵蓉熏输碎窒唁译虞陇忿灸恋避痉祖缨造趟涛冀腔仲臀寓海椎藏亩钝长舅铣乳啸成正腕敞里略塘蛀修准嘉哗亢脂年作黍诊楚贸娜芽队肌庙岿涡拓叼翘喳芹严羽拉翼鹅恤庶震怔舍骏赴德烁浚辉汛棉释锹兆宵恬毡枣柠紧闺讳苔邻拉墓彼没肺竞晚憾潞姥睫木跟轴均陀岳掇率形僳皮颧等摩核渗鸿却暴秒苑晚厩授息馒彦惩水性督思轧财狈垮棒司茧体析环