3.1不等关系与不等式

2020年3月6日星期五学校寿县一中班级高一（20）授课教师邓红2020年3月6日星期五我们用数学符号“≠”，“”，“”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.回顾一下什么是不等式？2020年3月6日星期五(2)我国“神舟十一号”宇宙飞船飞天取得了圆满的成功.我们知道,它的飞行速度()不小于第一宇宙速度(记作),且小于第二宇宙速度(记).2v12vvv1vv(1)右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.0v≤4040(3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.%3.2p%5.2f一.生活中的不等关系与不等式2020年3月6日星期五问题1.设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则ABBBdod≤|AB|.2020年3月6日星期五问题2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？思考(1)销售量减少了多少?万本2.01.05.2x万元x)2.01.05.2x8(2.01.05.28x(2)现在销售量是多少?(3)销售总收入为多少?2.5(80.2)200.1xx2020年3月6日星期五解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：万本2.01.05.2x因此，销售总收入为：万元x)2.01.05.2x8(用不等式表示为：2.5(80.2)200.1xx2020年3月6日星期五问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍请思考:(1)找出两种规格的钢管的数量满足的不等关系.(2)用不等式（组）表示上述不等关系.分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等关系呢？(3)截得两种钢管的数量都不能为负.(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍；(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；2020年3月6日星期五上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话，可以用下面的不等式组来表示：0y0xyx34000y600x500考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈Nx,y∈N2020年3月6日星期五课堂练习1：用不等式表示下面的不等关系：1.a与b的和是非负数；2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”3.在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系a+b≥00h≤4(10)(10)350,400LWLWLW5m5m5m5m2020年3月6日星期五课堂练习21.有一个两位数大于50而小于60,其个位数字比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系1.分析:设个位数字为,十位数字为,则ab50106020909baababaNbN2020年3月6日星期五二实数，代数式的大小比较数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.BAxO2020年3月6日星期五在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种：（1）点A和点B重合；（2）点A在点B的右侧；（3）点A在点B的左侧.在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由此可得到结论：对于任意两个实数a和b，在a=b，ab，ab三种关系中有且仅有一种关系成立.2020年3月6日星期五如果a－b是正数，则ab；如果ab，则a－b为正数；通常，“如果p成立，也能得到q成立”则简记为，读作“p推出q”.pq如果a－b是负数，则ab；如果ab，则a－b为负数；如果a－b等于零，则a=b；如果a=b，则a－b等于零.2020年3月6日星期五如果都是正确的命题，记为读作“p等价于q”.pqqp且pq上述结论用等价于符号可以写成：0abab0abab0abab2020年3月6日星期五例1．比较x2－x与x－2的大小.解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2=(x－1)2+1，因为(x－1)2≥0，所以(x2－x)－(x－2)0，因此x2－xx－2.比较两个数(式)的大小的方法:作差,与零比较大小.2020年3月6日星期五3x12xx例2.比较与的大小.解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1=x2(x－1)+(x－1)=(x－1)(x2+1),∵x2+10，∴当x1时，x3x2－x+1；当x=1时，x3=x2－x+1，当x1时，x3x2－x+1.2020年3月6日星期五这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.作差比较法其一般步骤是:作差→变形→定号→结论.注1比较大小的基本方法——作差法2020年3月6日星期五三：不等式的基本性质思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质，你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？a＞bb＜a（对称性）2020年3月6日星期五思考2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲的身材比丙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？a＞b，b＞ca＞c；a＜b，b＜ca＜c（传递性）2020年3月6日星期五思考3：再有一个不争的事实：若甲的年薪比乙高，如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？a＞ba+c＞b+c（可加性）2020年3月6日星期五思考4：还有一个不争的事实：若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多.这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？a＞b，c＞da+c＞b+d（同向可加性）2020年3月6日星期五思考5：如果a＞b，c＞0，那么ac与bc的大小关系如何？如果a＞b，c＜0，那么ac与bc的大小关系如何？为什么？思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac与bd的大小关系如何？为什么？a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bca＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd(可乘性)(正数同向不等式的可乘性)2020年3月6日星期五a＞b＞0＞(n∈N*)思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与bn的大小关系如何？思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么与的大小关系如何？nanba＞b＞0an＞bn(n∈N*)(可乘方性)(可开方性)nanb2020年3月6日星期五证明:∵()()()bmbbmaambamaama例3已知abm、、都是正数,且ab,求证:bmbama()abmaabbmama()()mabama∵abm、、都是正数,且ab∴0,0,0,0mmaaab∴0bmbama∴bmbama若ba,结论又会怎样呢?2020年3月6日星期五例4．已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围。解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b)=(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，58,33mn所以9a－b=(a－b)+(4a－b)53832020年3月6日星期五由－4≤a－b≤－1，得5520()333ab≤≤由－1≤4a－b≤5，得8840(4)333ab≤≤以上两式相加得－1≤9a－b≤20.2020年3月6日星期五性质１、如果ab，那么ba；如果ab，那么ba．性质２、如果ab且bc，那么ac．推论：如果ab且bc，那么ac．性质３、如果ab，那么a＋cb＋c；推论、如果a＋bc，那么ac－b；性质６、ab0,且cd0，那么acbd性质4、如果ab且c0，那么acbc；如果ab且c0，那么acbc；性质５、ab,且cd，那么a＋cb＋d性质７、ab0,那么anbn性质8、ab0,那么nnab不等式性质小结