污水排放问题数学建模

2017年河南科技大学模拟训练一承诺书我们仔细阅读了数学建模选拔赛的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：D队员签名：1.郭剑鹏2.李瑞锋3.王晨日期：2017年8月19日2017年河南科技大学数学建模竞赛选拔编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注1污水排放问题摘要随着国民经济的快速发展和结构转型，企业在追求经济效益的同时，越来越重视环境保护问题。如何减少污染物的排放以保护环境，使经济得以稳健及可持续发展，是许多企业亟待解决的重要问题。假设沿河有若干工厂，每天都会排放一定量的污水，这些污水必须经过处理才能排入河中。通常的解决办法是建造污水处理站，将污水进行处理，使之达到排放标准后再予以排放。而每个厂家单独建立污水处理站必定会产生较大的花费，所以就需要建立一个最优建站方案评测模型，并且在联合建站的情况中建立一套合理的费用分担机制。针对问题一我们在通过相关性检验后运用回归分析建立了建站费与排污量以及管道费与管道长之间的函数模型。运用了排列组合的知识确定了N个厂建站时总共多少种方案的计算模型。然后运用层次分析法建立一套综合评价体系，从而确定最优的建站方案。对于联合建站的工厂，运用shapley值法建立一套费用分配的方案，让各工厂按既得利益来承担费用。针对问题二将题目中所给的数据与第一问的数学模型进行匹配，量化模型，具体求解。层次分析所得的权重最少的方案就是最优的方案，然后对于联合建站的工厂运用第一问的模型可以容易的得出具体的分配方案。针对问题三采用穷举法列出题目中所有可能的方案的具体花费，通过直接比较各个方案的费用来确定出最优的方案，从而验证所建立模型的正确性。关键词：相关性检验多元回归分析shapley值法层次分析法穷举法21.问题重述1.1引言随着国民经济的快速发展和结构转型，企业在追求经济效益的同时，越来越重视环境保护问题。如何减少污染物的排放以保护环境，使经济得以稳健及可持续发展，是许多企业亟待解决的重要问题。假设沿河有若干工厂，每天都会排放一定量的污水，这些污水必须经过处理才能排入河中。通常的解决办法是建造污水处理站，将污水进行处理，使之达到排放标准后再予以排放。1.2问题提出污水处理站可以由每个工厂单独建造，也可以几个工厂联合建造。联合建造时，处理站必须建在下游位置，上游工厂将污水通过管道送往下游的处理站集中处理。处理站的建造费用与污水处理量及铺设的管道总长度有关，表1给出了不同污水处理量和不同管道铺设总长度的建造费用及管道铺设费用。(1)请建立适当的数学模型，给出合理的污水处理站建造方案。如果是联合建造，应给出建造费用的分担方法。(2)若沿河从上游到下游有A，B，C三家工厂，各厂的排污量分别为4.5t/s，2.5t/s和6t/s。已知AB之间的距离为20km，BC之间的距离为40km。请用你建立的模型给出具体的污水处理站建造方案和费用分担方法。(3)分析说明你所给方案的合理性。2.问题分析2.1问题一问题一要求建立适当的建站方案，并且给出联合建站工厂的费用承担方案。首先应该弄清楚共有多少种可能的建站方案。然后建立一个量化的评价模型来评判出最优的方案，最省钱的就是最合理的。然后构建一个费用分担的体制，这个体制应该让联合建站的工厂都达到利益最大化。2.2问题二问题二要求在给定的条件下建立具体的建造方案和费用分担方法。只需将问题一中所建立的模型具体化就可以。此问中并不需要计算出每一种方案需要花费的具体费用，只需量化模型中所需要的代数量即可。32.3问题三问题三要求所建立模型的合理性，我们采用穷举的方法。列出每一种方案所需要的具体数额，直接进行比较得出最优的建站方案，若结果与所建模型的相同，就能证明我们所建立模型的合理性。3.模型假设：1.每个厂到处理站的距离和管道长度是相等的。2.单独建站时管道长L为0，即只存在建站费。3.假设管道的输送能力无限大，即管道费与排污量无关。4.污水处理厂的能力是无限的，即排出污水能够及时处理。5.A,B,C三厂均在河的同一侧且位于一条直线上。6.如果河上游的厂建设的排污管通过下游的厂，则下游的厂可以共用，不需要另外铺设管道。4.符号说明L管道长X排污量F总费用f1管道费f2建站费W(p)联合建站费用W(p/k)除去第k厂之后集合P中剩余厂的联合建站费用W(p)−W(p/k)享有联合建站优惠后厂ｋ所需支付的建站费Q(|p|)加权因子5.模型的建立与求解问题一：根据模型假设以及常识我们认为建站费只与排污量有关，管道费只与管道长有关，为了探究上述两组变量之间的关系，我们做出了5-1和5-2两个散点图。通过观察散点图发4现这两组变量之间都接近线性、二次、三次以及幂函数的关系。SPSS软件对两组变量的相关性分析如表1表2所示：均显示了很强的相关性。接下来再运用SPSS软件对这三种函数进行曲线估计得到系数及模型评价如表5-3,5-4.5-6，5-7所示。各个函数模型与数据散点的拟合情况如图5-5和5-8所示。5-15-25相关性建站费排污量建站费Pearson相关性1.983**显著性（双侧）.000N1010排污量Pearson相关性.983**1显著性（双侧）.000N1010**.在.01水平（双侧）上显著相关。表1相关性管道费管道长管道费Pearson相关性1.990**显著性（双侧）.000N1010管道长Pearson相关性.990**1显著性（双侧）.000N1010**.在.01水平（双侧）上显著相关。表2模型汇总和参数估计值因变量:管道费方程模型汇总R方Fdf1df2Sig.线性.981407.97418.000二次.996807.33727.000三次.9981224.80636.000幂.9951581.07118.0005-3模型汇总和参数估计值因变量:管道费自变量：管道长度6方程参数估计值常数b1b2b3线性-25.4042.943二次-2.6471.301.023三次-18.5673.268-.041.001幂.3431.5015-45-5模型汇总和参数估计值因变量:建站费方程模型汇总R方Fdf1df2Sig.线性.967232.64918.000二次.986238.50527.000三次.986136.70536.000幂.991865.93718.0005-6模型汇总和参数估计值因变量:建站费7程参数估计值常数b1b2b3线性94.54926.242二次47.11040.438-.853三次51.66837.979-.521-.013幂79.198.661自变量为排污量。5-75-8通过对表5-3,5-4以及图5-5的综合分析得到管道费与管道长的关系：f1(𝑙)=0.343𝑙1.501通过对表5-6,5-7以及图5-8的综合分析得到建站费与排污量的关系：f2(x)=79.189x0.661假设有n个工厂，每个工厂的排污量分别是X1,X2,X3……Xn;8管道长分别为L1，L2，L3……Ln;可能性一:：每个工厂单独建站。总费用即为建站费:F1=∑f2ini=1;可能性二：所有工厂联合建厂。联合建站费为f’=79.189(∑Xini=1)0.661。总费用为建站费与管道费的总和F2=f′+∑f1ini=1可能性三：部分工厂联合建厂。假设ｎ个工厂中有ｋ个联合建站，剩余的ｎ－ｋ个单独建站。则由排列组合知识可得共有:∑Cnknk=2+1=∑n!k!(n−k)!+1nk=1（1）种建站的方案。5.1.1假设单独建站的n-k个工厂中，排污量分别为x1,x2,x3……xj；则建厂的总费用F(1)3=∑f2j5.1.2由模型假设1可得联合建站的k个工厂中离处理站的距离可用管道长度表示。假设联合建站的k个工厂中，离处理站的距离分别为l1,l2,l3……lk；建厂的总费用：F(2)3=∑f2+∑f1此问中我们采用层次分析法对所给的五组方案进行综合评判，得出最优的方案。接下来进行算法的说明：5.2.1：首先确定出层次分析的各个评价因素，层次图如图5-2-1所示：由上述方案分析整理出各个方案所需对应的B1，B2的花费数据如表5-2-2所示：其中B1,B2表示评定的两个因素，C1~Cn对应问题可能的n个方案5-2-19方案C1C2C3……CnB1D1D2D3……DnB2E1E2E3……En5-2-25.2.2:根据图2-2-1和表2-2-2所示的数据我们可以确定出相对n个建厂方案对于两个评价量B1，B2的成对比较阵。以及第二层对第一层的成对比较阵Q如下：：Q=[B1B1B1B2B2B1B2B2]G1=[D1D1⋯D1Dn⋮⋱⋮DnD1⋯DnDn]G2=[E1E1⋯E1En⋮⋱⋮EnE1⋯EnEn]通过MATLAB软件可以求出上述三个矩阵的最大特征根λ，λ1,λ2，对应的特征向量为ω（2），ω1（3），ω2（3）；对最大特征根进行一致性检验，如果检验通过，三个矩阵归一化的特征向量即可作为第二层对第一层的权向量ω（2）以及第三层对第二层的权向量ω1（3）和ω2（3）。（若一致性检验未通过则需要查找并去除掉有问题的样本点再次重复上述过程）构造矩阵:𝜔（3）=[𝜔1（3），𝜔2（3）]则第三层对第一层的组合权向量:ω=ω（3）∙ω（2）=[ω1，ω2⋯ω𝑛]T组合权向量中最小的数所对的方案即为最省的方案。5.3：对于联合建站（全部联合或部分联合）的费用分担问题，采用shapley算法原则：假设有k个厂联合建站，记这些厂为集合P；则花费的联合建站费用为W(p)；记W(p/k)为除去第k厂之后集合P中剩余厂的联合建站费用；则W(p)−W(p/k)即为享有联合建站优惠后厂ｋ所需支付的建站费；Q(|p|)代表加权因子，Q(|p|)=(K−|𝑃|)!(|𝑃|−1)!𝐾!；则由shapley利益分配原则可得：第k厂所需支付的费用W=∑Q(|p|)×[W(p)−W(p/k)]问题二：由问题一式（1）的排列模型可得当工厂数目为3时共有C32+C33+1=5种方案。即：A,B,C(三个工厂均单独建站)，AB,C（AB合作C单独建站），AC,B(AC合作B单独建站),A,BC(BC合作A单独建站)，ABC(ABC均合作建站)。10下面对五个方案用层次分析法进行综合评判。5.4.1：构造五个方案的层次分析图如2-1-1所示：五个方案对应评价因素层的数值如表5-4-1所示：5-4-1方案C1C2C3C4C5B1617.9603545.4350519.80135139.8567431.5006B2130.7709160.060287.0935160.06025-4-25.4.2：由2.1中的数据可得成对比较阵：11利用MATLAB（具体程序见附录）求出三者的最大特征值分别为：λ=2，λ1=5,λ2=5，都通过了一致性检验，所以三个特征值所对应的归一化特征向量可以作为权向量。构造矩阵5.4.3：计算可得第三层对第一层的组合权向量:从上式可以看出方案二是最为省钱的方案，即选取AB联合建站C单独建站的方案。5.5：接下来运用shapley利益分配原则计算各个厂应该承担的建厂费用，各指标如表5-5-1所示PAA,BA,CA,B,C𝐖(𝐩)214.012317.3699534.7511591.5666𝐖(𝐩/𝐤)0145.1123258.836412.9384𝐖(𝐩)−𝐖(𝐩/𝐤)214.012172.2576257.9191178.6282|p|1223𝐐(|𝐩|)1/31/61/61/3𝐖(𝐩)−𝐖(𝐩/𝐤)×𝐐(|𝐩|)71.33