2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第一章 习题课 正弦定理和余弦定理

习题课本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课【学习目标】1．进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用．2．提高对正、余弦定理应用范围的认识．3．初步应用正、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问题．本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课【学法指导】解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．(4)已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角．要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解．本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课1．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有(1)A＋B＋C＝，A＋B2＝.(2)sin(A＋B)＝，cos(A＋B)＝，tan(A＋B)＝.(3)sinA＋B2＝，cosA＋B2＝.试一试·扫描要点、基础更牢固ππ2－C2sinC－cosC－tanCcosC2sinC2本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课2．正弦定理及其变形(1)asinA＝bsinB＝csinC＝.(2)a＝，b＝，c＝.(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝.(4)sinA∶sinB∶sinC＝.3．余弦定理及其推论(1)a2＝.(2)cosA＝.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为；c2a2＋b2⇔C为_____；c2a2＋b2⇔C为．试一试·扫描要点、基础更牢固2R2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2Ra∶b∶cb2＋c2－2bccosAb2＋c2－a22bc直角钝角锐角本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课4．三角形常用面积公式(1)S＝(ha表示a边上的高)；(2)S＝＝＝；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．试一试·扫描要点、基础更牢固12aha12absinC12acsinB12bcsinA本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°试一试·扫描要点、基础更牢固解析∵sinC＝23sinB，∴c＝23b，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32，∵A为△ABC的内角，∴A＝30°，故选A.A本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课2．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若c·cosB＝b·cosC，且cosA＝23，则sinB等于()A．±66B.66C．±306D.306试一试·扫描要点、基础更牢固解析由c·cosB＝b·cosC，结合正弦定理得，sinCcosB＝sinBcosC，故sin(B－C)＝0，易知B＝C，故b＝c.因为cosA＝23，所以由余弦定理得3a2＝2b2，再由余弦定理得cosB＝66，故sinB＝306.D本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB＝14，sinCsinA＝2，且S△ABC＝154，则b等于()A．4B．3C．2D．1试一试·扫描要点、基础更牢固解析依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(2a)2－2×a×2a×14＝4a2，所以b＝c＝2a.sinB＝1－cos2B＝154，又S△ABC＝12acsinB＝12×b2×b×154，所以b＝2，选C.C本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝3，b＝2，且1＋2cos(B＋C)＝0，则BC边上的高为()A.3－1B.3＋1C.3－12D.3＋12试一试·扫描要点、基础更牢固解析由题意知，1＋2cos(B＋C)＝0⇒1－2cosA＝0⇒cosA＝12⇒A＝π3.设AB＝x，则3＝x2＋2－2·x·2cosπ3⇒x＝2＋62.设BC边上的高为h，则12AB·ACsinA＝12·BC·h，即12x·2·32＝12·3h⇒h＝3＋12，故选D.D本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课题型一利用正、余弦定理证明三角恒等式例1在△ABC中，求证：tanAtanB＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2.研一研·题型解法、解题更高效证明方法一因为左边＝sinAcosAsinBcosB＝sinAcosBsinBcosA＝ab·a2＋c2－b22acb2＋c2－a22bc＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2＝右边，所以tanAtanB＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2.本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课方法二右边＝a2＋c2－b22ac·2acb2＋c2－a22bc·2bc＝a2＋c2－b22ac·ab2＋c2－a22bc·b研一研·题型解法、解题更高效＝cosBcosA·sinAsinB＝sinAcosA·cosBsinB＝tanAtanB＝左边，所以tanAtanB＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2.小结证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课跟踪训练1在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：cosBcosC＝c－bcosAb－ccosA.研一研·题型解法、解题更高效证明方法一左边＝a2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab＝ba2＋c2－b2ca2＋b2－c2，右边＝c－b·b2＋c2－a22bcb－c·b2＋c2－a22bc＝ba2＋c2－b2ca2＋b2－c2，∴等式成立．本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课方法二右边＝2RsinC－2RsinB·cosA2RsinB－2RsinC·cosA研一研·题型解法、解题更高效＝sinA＋B－sinBcosAsinA＋C－sinCcosA＝sinAcosBsinAcosC＝cosBcosC＝左边．∴等式成立．本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课题型二利用正、余弦定理判断三角形的形状例2在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．研一研·题型解法、解题更高效解方法一根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴a＋c22＝a2＋c2－2accos60°，整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.∴△ABC是等边三角形．本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课方法二根据正弦定理，研一研·题型解法、解题更高效2b＝a＋c可转化为2sinB＝sinA＋sinC.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴C＝120°－A，∴2sin60°＝sinA＋sin(120°－A)，整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°.∴△ABC是等边三角形．小结本题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断．本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课跟踪训练2在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．研一研·题型解法、解题更高效解由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，∴A＝π3.又sinA＝2sinBcosC.∴a＝2b·a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－c2a，∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课题型三利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题例3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝35，且AB→·BC→＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.研一研·题型解法、解题更高效解(1)∵AB→·BC→＝－21，∴BA→·BC→＝21.∴BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|·cosB＝accosB＝21.∴ac＝35，∵cosB＝35，∴sinB＝45.∴S△ABC＝12acsinB＝12×35×45＝14.本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.研一研·题型解法、解题更高效由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝32，∴b＝42.由正弦定理csinC＝bsinB.∴sinC＝cbsinB＝542×45＝22.∵cb且B为锐角，∴C一定是锐角．∴C＝45°.小结这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课跟踪训练3在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cosB＝34.(1)求1tanA＋1tanC的值；(2)设BA→·BC→＝32，求a＋c的值．研一研·题型解法、解题更高效解(1)由cosB＝34，得sinB＝1－342＝74.由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC.于是1tanA＋1tanC＝cosAsinA＋cosCsinC＝sinCcosA＋cosCsinAsinAsinC＝sinA＋Csin2B＝sinBsin2B＝1sinB＝477.本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课(2)由BA→·BC→＝32得ca·cosB＝32，研一研·题型解法、解题更高效由cosB＝34，可得ca＝2，即b2＝2.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cosB，得a2＋c2＝b2＋2ac·cosB＝5，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形练一练·当堂检测、目标达成落实处解析∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.C本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课2．下列判断中正确的是()A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解练一练·当堂检测、目标达成落实处解析A：a＝bsinA，有一解；B：A90°，ab，有一解；C：absinA，无解；D：cbcsinB，有两解．B本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课3．在△ABC中，求证：a2＋b2＋c2＝2(bccosA＋cacosB＋abcosC)．练一练·当堂检测、目标达成落实处证明根据余弦定理，右边＝2(bc×b2＋c2－a22bc＋ca×c2＋a2－b22ac＋ab×a2＋b2－c22ab)＝(b2＋c2－a2)＋(c2＋a2－b2)＋(a2＋b2－c2)＝a2＋b2＋c2＝左边，即a2＋b2＋c2＝2(bccosA＋cacosB＋abcosC)．本讲栏目开关试一试研一研练一练习题课4．如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝60°，AC＝7，A