80物理自主招生-常见解题方法

物理常见解题方法助教李老师2013年12月29日物理自主招生网络课微元法等效法什么是微元法？基本特征：化繁为简、化曲为直、化变为恒𝑥𝑦𝒚=𝐬𝐢𝐧⁡𝒙∆𝑥整体→⁡部分→⁡整体基本步骤：分割、近似、求和、取极限微元分类：时间元∆𝑡、空间元(体元∆𝑉、面元∆𝑆、线元∆𝐿)、角元∆𝜃、质量元∆𝑚、电流元∆𝐼等换元技巧：时间元↔空间元：∆𝑠=𝑣∆𝑡体元↔面元↔线元：∆𝑉=𝑆∆𝑙线元↔角元：∆𝑙=𝑅∆𝜃微元法：近似技巧𝑥→0时sin𝑥≈𝑥tan𝑥≈𝑥1−cos𝑥≈12𝑥2arcsin𝑥≈𝑥arctan𝑥≈𝑥ln(1+𝑥≈𝑥𝑒𝑥−1≈𝑥𝑎𝑥−1≈𝑥⁡ln𝑎1+𝑥𝜇−1≈𝜇𝑥等价无穷小替换略去高阶小量𝑥2,𝑥3,sin3𝑥,……微元法：课本实例OR𝐵AvBvs∆𝜃𝐴AvBv∆𝜃v|𝛥𝑣|𝑣≈∆𝜃∆𝑡时间，质点由𝐴运动到𝐵，平均加速度为：𝑎=𝛥𝑣𝛥𝑡=𝑣𝐵−𝑣𝐴𝛥𝑡某一时刻，加速度为：𝑎=lim𝛥𝑡→0𝛥𝑣𝛥𝑡𝑎=lim𝛥𝑡→0𝛥𝑣𝛥𝑡=lim𝛥𝑡→0𝑣∆𝜃𝛥𝑡=𝑣𝜔=𝑣2𝑅|𝛥𝑣|𝑣=2sin∆𝜃2≈∆𝜃推导向心加速度微元法：课本实例𝐶𝑂𝑣𝐴𝑣𝐵𝐴𝐵𝐷𝑆∆AOC=𝑆∆𝐵𝑂𝐷𝑆∆AOC=12𝑣𝐴𝛥𝑡⋅|AO|𝑆∆𝐵𝑂𝐷=12𝑣𝐵𝛥𝑡⋅|BO||AO|𝑣𝐴=|BO|𝑣𝐵开普勒第二定律角动量𝑳=𝒓×𝒎𝒗微元法：试题一个身高为𝑕的人在路灯下以恒定速度𝑣沿水平直线行走。设灯距地面高为𝐻，求证人影的顶端𝐶点做匀速直线运动。经过一微小时间∆𝑡→0，则人由𝐴𝐵到达𝐴′𝐵′，人影顶端𝐶点到达𝐶′点。|𝐴𝐴′|=𝑣∆𝑡|𝐶𝐶′|=𝐻𝐻−𝑕|𝐴𝐴′|𝑣𝐶=lim𝛥𝑡→0|𝐶𝐶′|𝛥𝑡=lim𝛥𝑡→0𝐻𝐻−𝑕|𝐴𝐴′|𝛥𝑡=𝐻𝑣𝐻−𝑕微元法：试题电量𝑄均匀分布在半径为𝑅的圆环上，求在圆环轴线上距圆心𝑂点为𝑥处的𝑃点的电场强度.电荷元𝛥𝑞=𝑅𝛥𝜃𝑄2𝜋𝑅在𝑃点产生的电场的场强的𝑥分量为𝛥𝐸𝑥=𝑘𝛥𝑞𝑟2cos𝛼=𝑘𝑅𝛥𝜃𝑄2𝜋𝑅(𝑅2+𝑥2𝑥𝑅2+𝑥2根据对称性𝐸=∑𝛥𝐸𝑥=𝑘∑𝛥𝑞𝑟2cos𝛼=𝑘𝑄𝑥2𝜋𝑅2+𝑥23∑𝛥𝜃𝐸=𝑘𝑄𝑥2𝜋𝑅2+𝑥232𝜋=𝑘𝑄𝑥𝑅2+𝑥23微元法：自招真题[2013华约]在某处固定一个电荷量为𝑄的点电荷，在其正下方𝑕处有一个原子．在点电荷产生的电场(场强为𝐸)作用下，原子的负电荷中心与正电荷中心会分开很小的距离𝑙，形成电偶极子．描述电偶极子特征的物理量称为电偶极矩𝑝=𝑞𝑙，这里𝑞为原子核的电荷．实验显示𝑝=𝛼𝐸，𝛼为原子的极化系数，反映其极化的难易程度．求被极化的原子与点电荷之间产生作用力𝐹．𝒍为微元𝐹=𝑘𝑄−𝑞𝑕−𝑙22+𝑘𝑄𝑞𝑕+𝑙22原子对固定点电荷电场力：=𝑘𝑄𝑞−2𝑕𝑙𝑕2−𝑙242=𝑘𝑄𝑞−2𝑕𝑙𝑕4=−2𝑘𝑄𝑞𝑙𝑕3=−2𝑘𝑄𝑝𝑕3𝐸=𝑘𝑄𝑕2𝑝=𝛼𝐸𝐹=2𝛼𝑘2𝑄2𝑕5略去高阶小量微元法：自招真题[2013华约]汽车速度较高时，空气阻力不能忽略．将汽车简化为横截面积约1m2的长方体，并以此模型估算汽车以60⁡km/h行驶时为克服空气阻力所增加的功率．已知空气密度𝜌=1.3⁡kg/m3．假设汽车的截面积为A，当汽车以一定速度运动时，将推动前方的空气使之获得相应的速度，则在∆𝑡时间内，车前方以𝐴为底、𝑣∆𝑡为高的柱形空气获得的动能为𝛥𝐸𝑘=12𝑚𝑣2=12𝜌𝐴𝑣𝛥𝑡⋅𝑣2为使该空气柱在∆𝑡时间内获得上述动能，车需增加的功率为𝑃=𝛥𝐸𝑘𝛥𝑡=12𝜌𝐴𝑣3=3×103⁡W微元法：自招真题[2012华约]两个光滑的水平导轨间距为𝐿，左侧连接有阻值为𝑅的电阻，磁感应强度为𝐵的匀强磁场垂直穿过导轨平面，有一质量为𝑚的导体棒以初速度𝑣0向右运动，设除左边的电阻𝑅外，其它电阻不计。棒向右移动最远的距离为𝑠，问当棒运动到𝜆𝑠时0𝜆1，求此时电阻𝑅上的热功率．设棒向右运动时刻𝑡时速度为𝑣，动生电动势𝐸=𝐵𝐿𝑣电流𝐼=𝐸/𝑅，导体棒受到安培力𝐹=𝐵𝐼𝐿𝐹=𝐵2𝐿2𝑣𝑅此力为变力。设∆𝑡时间内，棒位移∆𝑥∆𝑥=𝑣∆𝑡再由动量定理：𝐵2𝐿2𝑣𝑅∆𝑡=𝑚∆𝑣⁡⁡→⁡⁡𝐵2𝐿2𝑅∆𝑥=𝑚∆𝑣⁡⁡→⁡∑𝐵2𝐿2𝑅∆𝑥=∑𝑚∆𝑣→⁡𝐵2𝐿2𝑅∑∆𝑥=𝑚∑∆𝑣𝐵2𝐿2𝑅𝑥=𝑚(𝑣0−𝑣微元法：自招真题[2012华约]两个光滑的水平导轨间距为𝐿，左侧连接有阻值为𝑅的电阻，磁感应强度为𝐵的匀强磁场垂直穿过导轨平面，有一质量为𝑚的导体棒以初速度𝑣0向右运动，设除左边的电阻𝑅外，其它电阻不计。棒向右移动最远的距离为𝑠，问当棒运动到𝜆𝑠时0𝜆1，求此时电阻𝑅上的热功率．𝐵2𝐿2𝑅𝑥=𝑚(𝑣0−𝑣当𝑥=𝑠，𝑣=0，则有𝐵2𝐿2𝑅𝑠=𝑚𝑣0当𝑥=𝜆𝑠，𝑣=𝑣0−𝐵2𝐿2𝑚𝑅𝜆𝑠=𝑣0(1−𝜆𝑃=𝐸2𝑅=𝐵2𝐿2𝑣2𝑅=𝐵2𝐿2𝑣021−𝜆2𝑅什么是等效法？陌生的、复杂的、难处理的问题↓↓↓熟悉的、容易的、易处理的问题等效原理，等效概念，等效方法，等效过程等效法：试题等效力质量为𝑚小球带电量为+𝑞，在场强为𝐸的水平向右匀强电场中获得竖直向上的初速度为𝑣0.忽略空气阻力，求小球在运动过程中的最小速度.𝑣0𝑣=min𝑣0cos𝜃=𝑣0𝐸𝑞𝑚𝑔2+𝐸𝑞2𝐸𝑥𝑦𝜃𝑚𝑔𝐸𝑞等效法：自招真题𝜃𝑀𝑔𝐹𝑓𝐹𝑁𝜶摩擦角𝛽=30°𝜃=15°𝑀𝑔𝐹合𝐹合45°𝐹=mg45°Mmax=2𝑚≈70.7⁡kg或假设𝐹与𝐹合夹角γ，由正弦定理：𝐹𝑠𝑖𝑛45°=𝑀𝑔𝑠𝑖𝑛γ(𝑀𝑔𝑚𝑎𝑥=𝐹𝑠𝑖𝑛45°𝑠𝑖𝑛γ𝑚𝑎𝑥=2𝑚𝑔𝑀𝑚𝑎𝑥=2𝑚≈70.7⁡𝑘𝑔[2013华约]明理同学最多能提起𝑚=50𝑘𝑔的物体，一重物放置在倾角𝜃=15°粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为𝜇=3/3．试求该同学向上拉动的重物质量𝑀的最大值？等效法：试题水平面上，有两个竖直的光滑墙壁𝐴和𝐵，相距为𝑑，一个小球以初速度𝑣0从两墙之间的𝑂点斜向上抛出，与𝐴和𝐵各发生一次弹性碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角𝜃.𝒅𝜽𝑣0𝑶𝐴𝐵𝑶’𝒅弹性小球在两墙之间的反弹运动，可等效为一个完整的斜抛运动.2𝑑=𝑣0cos𝜃⋅𝑡=𝑣0cos𝜃⋅2𝑣0sin𝜃𝑔𝜃=12arcsin2𝑔𝑑𝑣02等效运动等效法：试题半径为𝑟的铅球内有一半径为𝑟/2的球形空腔，其表面与球面相切，铅球的质量为𝑀.在铅球和空腔的中心连线上，距离铅球中心𝐿处有一质量为𝑚的小球（可以看成质点），求铅球对小球的引力.𝛥𝑀=17𝑀𝐹1=𝐺𝑚(𝑀+𝛥𝑀𝐿2=8𝐺𝑚𝑀7𝐿2𝐹2=𝐺𝑚𝛥𝑀𝐿−𝑟22=𝐺𝑚𝑀7𝐿−𝑟22𝐹=𝐹1−𝐹2=𝐺𝑚𝑀87𝐿2−17𝐿−𝑟22⁡等效质量等效法：试题三根等长的绳𝐿1、𝐿2、𝐿3共同系住一个密度均匀的小球𝑚，球直径为𝑑，𝐿2、𝐿3与天花板的夹角𝜃30°。求摆动周期。𝐿1𝐿2𝐿3𝜃𝜃𝑂𝑂1𝑚若摆球在纸面内作小角度的左右摆动，则摆心在𝑂1处，等效摆长𝐿1+𝑑2𝑇1=2𝜋𝐿1+𝑑2𝑔周期若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆心在O处，等效摆长周期𝐿1+𝐿2sin𝛼+𝑑2𝑇2=2𝜋𝐿1+𝐿2sin𝛼+𝑑2𝑔等效摆长等效法：自招真题等效电阻[2008清华]无限网络电路中，除最后一只电阻为𝑅𝑥，其余电阻阻值都是𝑅，那么要使𝐴､𝐵两点间等效电阻与网络级数𝑛无关，求𝑅𝑥1𝑅𝑥=1𝑅+1𝑅𝑥+2𝑅𝑅𝑥=(3−1𝑅等效法：试题等效电阻由电阻组成的长链有无数个结点，第一个结点有阻值为R的两个电阻，第二个结点有阻值为2R的两个电阻，第三个结点有阻值为4R的两个电阻，如此下去……下一个结点的电阻总是前一个结点电阻的2倍，那么测量A、B间的电阻值应为多少?𝐴𝐵𝑹𝒙𝟐𝑹𝒙𝑅𝑥=𝑅+2𝑅𝑅𝑥(𝑅+2𝑅𝑥2𝑅𝑥2−3𝑅𝑅𝑥−𝑅2=0𝑅𝑥=3+174𝑅𝟐𝑹𝒙欢迎收看，敬请讨论[e-mail]