2.4.1平面向量数量积的物理背景及几何意义

2.4.1平面向量数量积物理背景及其含义已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab一个物体在力F的作用下产生位移S（如图）θFS那么力F所做的功W为：情景引入W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角.从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。数量积的定义（1）两向量的数量积是一个数量，注意已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即||||cosab（2）a·b不能写成a×b，‘·’不能省.cosabab向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？cosabab当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。设ba、都是非零向量，则(1)0abab(2)||||;ababab当与同向时，|;|||bababa反向时，与当特别地2||aaaaaa||或2a(3)||||||abab求模的方法判断垂直的条件证明不等式及求函数的最值cosabab1.5,4,120.ababab例已知与的夹角，求cosabab解：54cos120154()102OABbacosbababaOB１叫做向量在向量的方向上的投影，即有向线段的数量.1Bcosb数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.四、投影的概念投影的作图:AOAOB|b|cos=b|b|cos0|b|cos0|b|cosb|b|cos0OAaBbθOAaBbθOAaBbθB1B1Bbaba||ababab当且仅当与同向时：ababab当且仅当与反向时：数量积的运算律已知向量a、b、c和实数，则:(1);(2)()()()(3))abbaababababcacbc注：)()(cbacba则：(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)222221)2(2)()()abaabbababab（）(例2.已知向量a，b,求证下列各式我们知道，对任意,Ra,b恒有222()2,a+baab+b((-.22a+ba-bab）)=对任意向量a,b,是否也有类似的结论？证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.向量的数量积运算类似于多项式运算||6,||4,60,(1)(23).)(abababab已知与夹角为求：例3(2)2|.ab22(2)(3)6ababaabb（1）2(2)2(2)abab22cos6aabb解：722244aabb23722664cos6064o4.||3,||4,.,()()ababkakbakb例已知且与不共线为何值时向量与互相垂直？解：-=0akbakbakbakb与相互垂直的条件是（）（）2220akb即2222239,416,9160abk34k也就是说，当34kakbakb时，与相互垂直。练习P1061,2,3夹角的范围运算律性质数量积0(3)(a＋b)·c=a·c＋b·ca·a=|a|2（简写a2=|a|2）aaa||或知识回顾（小结）:cos||||baba(2))()()(bababa(1)a·b=b·a(交换律)(分配律)课后作业:P108习题2.4A组1，2，3判断正误，并说理.1.已知向量，1．若，则中至少有一个为．2.若b≠0，a·b＝c·b，则a=c3.对任意向量a有22||aa4.0)().Rabb（时，与的方向相同×××√巩固练习,,abc0ab,ab02.已知△ABC中,AB=a,AC=b,当a·b0,a·b=0时,△ABC各是什么三角形？当a·b＜0时，cos0，为钝角三角形当a·b=0时，为直角三角形巩固练习3.在△ABC中a=5,b=8,C=60o,求BCCA20