山东建筑大学 概率论 第三章小结及作业答案

1定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：则随机变量X的数学期望为:X1x)(1xp2x)(ixpix)(2xpP,xf设X是一连续型随机变量，其分布密度为则随机变量X的数学期望为一、一维随机变量的数学期望iiixpxXEiiixpxXEdxxxfXEdxxxfXE定义2：第三章随机变量的数字特征（一）基本内容2（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi,yj)，则随机变量X及Y的数学期望分别定义如下：,,ijjiiyxpxXE.,jijijyxpyYE,iiXixpxXE.jjYjypyYE（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则随机变量X及Y的数学期望分别定义如下：,,dxdyyxxfXE.,dxdyyxyfYE即：,dxxxfXEX.dyyyfYEY假定级数是绝对收敛的.假定积分是绝对收敛的.二、二维随机变量的数学期望即：3iiixpxgXEgEY则定义随机变量函数的数学期望为：XgYX1x)(1xp2xnx)(ixXP)(nxp)(2xp（1）设离散型随机变量X的概率分布为：三、一维随机变量函数的数学期望dxxfxgXEgEY机变量函数的数学期望为：XgY则定义随（2）若X为连续型随机变量，,xf其概率密度为4（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi,yj)，则随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下：,,,,ijjijiyxpyxgYXgE（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则随机变量g(X,Y)的数学期望如下：,,,,dxdyyxfyxgYXgE假定这个级数是绝对收敛的.假定这个积分是绝对收敛的.四、二维随机变量的函数的数学期望5五、关于数学期望的定理定理1bEXabXaEaEaEXaXaEbEXbXE推论（1）（2）（3）定理2推论：.11niiniiEXXEYEXEYXE定理3若X、Y独立，则有：推论.11niiniiEXXE相互独立，则若nXXX,,,21YEXEXYE6定义X的标准差：2EXXEDXDXX定义X的方差：若X为离散型随机变量，则有12iiipEXxXD若X为连续型随机变量，则有dxxfEXxXD)(222XEXEDX方差的计算公式:;0Db;DXbXD.)(2DXaaXDDXabaXD2定理1推论：有关方差的定理：六、方差与标准差7定理2：DYDXYXD若X与Y独立，推论：niiniiXDXD11七、某些常用分布的数学期望及方差二项分布：,pEXpqDX0-1分布：,npEXnpqDX,EXDX几何分布:2pqDX,1pEX12)(2abDX,2baEX均匀分布:,1EX21DX指数分布:Poisson分布8.,2jiijjyxpEYy,,2jiijiyxpEXxjjYiypEYy2XDiXiixpEXx2YD二维随机变量的方差：,,2dxdyyxfEXx.,2dxdyyxfEYydyyfEYyDYY2dxxfEXxDXX2连续型随机变量,,YX离散型随机变量,,YX9kkXEXEX1kkXEXEX随机变量X的k阶原点矩：定义1：定义2：X的k阶中心矩：;01DX2对于离散随机变量：iikikxpxX)()(对于连续随机变量：dxxfxXkk)()(对于离散随机变量：对于连续随机变量：iikikxpXExX)()]([)(dxxfXExXkk)()()(其中k为正整数。特别的，特别的，八、原点矩与中心矩10)]}.()][({[),cov(YEYXEXEYX.,,covdxdyyxfEYyEXxYX⑴离散型随机变量：⑵连续型随机变量：1、X与Y的协方差（或相关矩）：定义注.,,covijjijiyxpEYyEXxYX九、协方差与相关系数定理1)()()(),cov(YEXEXYEYX定理2若X与Y独立，则：.0,covYX注设X与Y是任两个随机变量，),cov(2)()()(YXYDXDYXD逆命题不成立。11),(cov),(YXYXR)()(),(cov),(YDXDYXYXR2、X与Y的相关系数定义定理31,YXR,bXaY且.0,1;0,1),(bbYXR定理41),(YXR定理5如果X与Y独立，则,0),(YXR反之不成立。即:X与Y相互独立X与Y不相关12概率论与数理统计作业9（§3.1）1.X、Y独立同分布，X01P1/32/3(1)PXY则5/9()=EXY4/92.设X的密度函数为,则2(1)01()0xxfx其它=EX2()EX1/31/63.随机变量的分布率为,则2020.40.30.3XP()EX-0.22(3+5)=EX13.44.已知随机变量的分布列为P(X=m)=1/10,m＝2,4,…,18,20,则=EX1112pp5.对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为，第二台仪器发生故障的概率为．令X表示测试中发生故障的仪器数，则1p2pEX13二、计算题1.连续型随机变量的概率密度为又知，求k和的值。01(,0)()0akxxkafx其它0.75EX解：由101,afxdxkxdx1,1ka得又，()0.75EX100.75,axfxdxxkxdx有0.75,2ka得故由上两式解得k=3,a=214的次品率为p，求每批产品抽查样品的平均数。都是合格，则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品立即停止检查而认为这批产品不合格；若连续检查5个产品2对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。若发现次品，则设随机变量X表示每批产品抽查的样品数，则:)4,3,2,1()(1mpqmXPm∴X的概率分布表如下：)1(qp454)5(qqpqXPX)(mXP4q521ppq432pq3pq4324325101055432ppppqpqpqpqpEX解153．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为1）求EX,EY及E(XY)；2）求X与Y的边缘密度函数；2221140xyxyfxy，其它解：1）21121137121,4210;8xEXxfxydxdydxxxydyxxdx21121128121,477;49xEYyfxydxdydxyxydyxxdx21121139121,470;4xEXYxyfxydxdydxxyxydyxxdx162)1x时，212262121,;48Xxfxfxydyxydyxx1x时，0Xfx2621,1;80,1.Xxxxfxx01y时，522217,;42yYyfyfxydxxydxy10yy或时0Yfy527,01;20,10.Yyyfyyy或17概率论与数理统计作业10（§3.2～§3.4）一、填空题1.设随机变量相互独立，其中在[0，6]上服从均匀分布，服从，服从参数为的泊松分布,记，则123,,XXX1X2X1()2e3X312323YXXX()DY462.随机变量X、Y相互独立，又则--2，8．1~2,~8,4XPYB2EXY2DXY3.随机变量相关系数,则0.3~(10,0.6),~(0.6),XBYP1(,)4RXY(,)CovXY4、若，且，则n=36,p=1/3.~(,)XBnp()12,8EXDX18二、选择题1.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则是X和Y的（B）A）不相关的充分条件，但不是必要条件；B）独立的必要条件，但不是充分条件；C）不相关的必要条件，但不是充分条件；D）独立的充分必要条件()DXYDXDY(1)21EXXA）1，B）2，C）3，D）02.设且，则（A）~()XP3.设相互独立同服从参数的泊松分布，令，则CA）1.B）9.C）10.D）6.123,,XXX31231()3YXXX2()EY194.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与Y的相关系数等于（）。A）1B）0C）1/2D）15．设随机变量()2DX，()2DY，而且X与Y不相关，令YaXU，bYXV，且U与V也不相关，则有（）A）0ba；B）0ba；C）0ba；D）0ab．6．若YX,表示二维随机变量YX,的相关系数，则“1,YX”是“存在常数a、b（0b）使得1bXaYP”的（）A）必要条件，但非充分条件；B）充分条件，但非必要条件；C）充分必要条件；D）既非充分条件，也非必要条件．ACC20三、1.一批零件中有9个合格品与3个废品。安装机器时从中任取1个。如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数方差。解设在取得合格品以前已取出的废品数为XX)(ixP1043449220132220922013220924491430)(XE3.010322013220924491430)(22222XE409.0229)()()(22XEXEXD319.01100351212设随机变量X的概率密度为：1,01,112xxxxf解求方差D(X)。011)(112dxxxXE)()()()(222XEXEXEXD102211221211)(dxxxdxxxXD令tdtdxtxcos,sin212212)(sin2)(202dxtXD223.二维随机变量（,）在区域R：XYxyx0,10上服从均匀分布，求：（1）数学期望)(XE及（2）方差)(XD及（3）及)(YE)(YD),cov(YX),(YXR解dxdyyxf,xdydxC01012C（1）设（X,Y）的概率密度其它xyxCyxf0,100),(2C)(XE（2）dxdyyxxf,xdyxdx010232)(YEdxdyyxyf,xydydx010231)(2XEdxdyyxfx,2xdydxx0102221)(2YEdxdyyxfy,2xdyydx02102612322)]([)(