93线性代数教材第二章

第二章矩阵和矩阵的初等变换第一节矩阵的定义一、矩阵的基本概念（）二、几类特殊的矩阵（）第二节矩阵的运算一、矩阵的加法与数乘矩阵（）二、矩阵的乘法（）三、矩阵的转置（）四、方阵的幂及其行列式（）第三节矩阵的分块一、分块矩阵的定义（）二、分块矩阵的运算（）第四节矩阵的初等变换及初等矩阵一、矩阵的初等变换与矩阵等价（）二、初等矩阵（）第五节逆矩阵一、逆矩阵的基本概念（）二、逆矩阵存在及判定定理（）三、逆矩阵的性质（）四、初等变换求逆矩阵（）第六节矩阵的秩一、矩阵的秩的定义（）二、初等变换求矩阵的秩（）三、矩阵的秩的性质（）习题二第二章矩阵和矩阵的初等变换矩阵是线性代数的主要研究对象之一，它在数学和其他自然科学、工程技术和经济领域中都有着广泛的应用.本章的中心议题为矩阵，围绕这个议题，先给出矩阵的定义、矩阵的运算和求方阵的逆、初等变换以及求矩阵的秩，最后介绍矩阵的分块运算.第一节矩阵的定义一、矩阵的基本概念定义1由nm个数ija(1,2,,;1,2,,)imjn排成的m行n列的数表（常用括弧将数表括起）111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为m行n列矩阵，简称mn阶矩阵，其中ija叫做矩阵A的元素，i为行标，j为列标，表明ija位于矩阵A的第i行第j列.为简单起见，记mn阶矩阵A为()ijmna或mnA.特别地，当mn时，则称矩阵A为n阶矩阵或n阶方阵，记为nA.对于mn矩阵A，当1m时，有12()nAaaa.称矩阵A为行矩阵，或行向量.为避免元素间的混淆，行矩阵也可写为12(,,,)nAaaa.当1n时，有12maaAa.称矩阵A为列矩阵，或列向量.当1mn时，有11()Aaa.这里把矩阵A看成是数.两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.所有元素均为零的矩阵，称为零矩阵，记作O.注意不同型的零矩阵是不同的.定义2如果()ijAa与()ijBb是同型矩阵，且它们的对应元素均相等，即(1,2,,;1,2,,)ijijabimjn，则称矩阵A与矩阵B相等，记作AB.下面举几个关于矩阵应用的例子.例13个产地与4个销地之间的里程（单位：千米）可列为矩阵A：120180758575125354513019085100A.其中ija为第i产地到第j销地的里程数.例24个城市间的单向航线如图1所示.若令01ija，，则图1可用矩阵表示为00011001()01001110ijAa一般地，若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示.例3n个变量12,,,nxxx与m个变量12,,,myyy之间的关系式11111221221122221122,,nnnnmmmmnnyaxaxaxyaxaxaxyaxaxax(1)表示一个从变量12,,,nxxx到变量12,,,myyy的线性变换，其中ija为常数.线性变换(1)的系数ija构成矩阵()ijmnAa.给定了线性变换(1)，它的系数所构成的矩阵(称为系数矩阵)也就确定.反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定.在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系.二、几类特殊的矩阵1）对角矩阵n阶方阵A的元素1122,,,nnaaa称为A的主对角元素.例如，矩阵3491A的主对角元素为3和1.图11324定义3若n阶方阵()ijAa中的元素满足条件0,(,1,2,,)ijaijijn则称A为n阶对角矩阵或对角阵，即1122nnaaAa（此记法表示对角线以外未标明的元素均为0）.简记为1122(,,,)nnAdiagaaa.例如，100030005A为对角阵.特别地，当(1,2,,)iiaain，则称对角阵A为n阶数量矩阵.即aaAa例如，300030003A为数量矩阵.又当1a时，称A为n阶单位矩阵或单位阵，记作nE，有时简记为E，即111nE.例如线性变换1122,,nnyxyxyx叫做恒等变换，它对应的系数矩阵就是一个n阶单位矩阵.2）三角形矩阵定义4若n阶方阵()ijAa中的元素满足条件0,()(,1,2,,)ijaijijn则称A为n阶上三角形矩阵或上三角矩阵，即11121222nnnnaaaaaAa.若n阶方阵()ijBb中的元素满足条件0,()(,1,2,,)ijbijijn则称B为n阶下三角形矩阵或下三角矩阵，即11212212nnnnbbbBbbb.例如，123045006A为上三角矩阵，100230456B为下三角矩阵.3）对称矩阵定义5若n阶方阵()ijAa中的元素满足,(,1,2,,)ijjiaaijn则称A为对称矩阵.例如，110250311125A为对称矩阵.4）阶梯形矩阵定义6若矩阵()ijAa满足：(i)若A有零行(元素全为零的行)，全部在矩阵的下方；(ii)各非零行的第一个不为零的元素(称为首非零元)的列标随行标的增大而严格增大.则称矩阵A为行阶梯形矩阵.例如，矩阵11214021100003300000A为行阶梯形矩阵，而矩阵112101110213B不是行阶梯形矩阵.进一步，若行阶梯形矩阵满足：(i)行首非零元等于1；(ii)所有首非零元所在列的其余元素全为零.则称A为行最简形矩阵.上例行阶梯形矩阵A对应的行最简形为110104011030001300000A，而矩阵211104011030001300000A不是行最简形矩阵.第二节矩阵的运算一、矩阵的加法与数乘矩阵定义1两个mn阶矩阵()ijAa和()ijBb对应位置元素相加得到的矩阵，称为矩阵A与B的和，记作AB，即()()()ijmnijmnijijmnABabab.注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例1两种物资（单位：吨）同时从3个产地运往4个销地，其调运方案分别为矩阵A和矩阵B：203453272103A，312040861257B.则从各产地运往各销地的物资总调运量（单位：吨）为20343120532740862103125723013240515454302876931013.2112053733510AB定义2以数乘mn阶矩阵()ijAa的每一个元素得到的矩阵，称为数与矩阵A的积，记作A，即()().ijmnijmnAaa若取1，则有()ijmnAa.称A为矩阵A的负矩阵.显然有()AAO,由此规定矩阵的减法为().ABAB即若()ijmnAa，()ijmnBb，则()()()().ijmnijmnijijmnABABabab例2设3个产地与4个销地之间的里程（单位：千米）为例1中的矩阵0.已知货物每吨公里的运费为1.50元，则各产地与各销地之间每吨货物的运费（单位：元／吨）可以记为矩阵形式：12018075851.51.5751253545130190851001.51201.51801.5751.585180270112.5127.51.5751.51251.5351.545112.5187.552.567.5.1.51301.51901.5851.5100195285127.5150A矩阵相加与数乘矩阵的运算，统称为矩阵的线性运算.矩阵的线性运算满足下面的运算律：设A、B、C、O都是mn阶矩阵，,是数，则(i);ABBA(ii)()();ABCABC(iii)();ABAB(iv)();AAA(v)()().AA例3已知123103214032A，312015792316B且2AXB，求X.解：由矩阵的加法和数乘运算律有431111()129822234431122221914.2231222XBA二、矩阵的乘法设有两个线性变换11111221332211222233,,xayayayxayayay111112222112223311322,,,ybzbzybzbzybzbz则变量12,zz与变量12,xx的关系为111111221133111112122213322221112221233112112222223322()()()()xabababzabababzxabababzabababz(1)定义3设矩阵()ijmsAa，()ijsnBb.令11221,(1,2,,;1,2,,)sijijijissjikkjkcababababimjn则称矩阵()ijmnCc是矩阵A与矩阵B的乘积，记作CAB.对于矩阵的乘法由定义注意到以下三点：(1)只有矩阵A的列数等于B的行数时，AB才有意义.(2)乘积矩阵AB的第i行第j列元素ijc就是A的第i行上各元素与B的第j列上的各对应元素的乘积之和.即12123jjiiiijjsjjbbiaaacib(3)乘积矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数.线性变换(1)用矩阵乘法表示即为1112111213112122212223223132bbaaaxzbbaaaxzbb.这种矩阵的表示显然比(1)式表示要简单得多.例4设矩阵1312140012,1134131402AB，求AB.解因为A是24矩阵，B是43矩阵，即A的列数等于B的行数，故A和B可相乘，其乘积AB应是个23矩阵.13121400121134131402AB211041042311430021124102111031441311334011123142＋＋（－）6782056.例5设2412A，2436B，求AB及BA。解242416321236816AB，242400361200BA.由例4知，在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序.AB是A左乘B，BA是A右乘B.AB有意义时，BA可以没有意义.当AB与BA都有意义时，它们仍然可以不相等，如例5中的AB和BA不相等.总之，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情形下，ABBA.对于两个n阶方阵,AB，若ABBA，则称方阵A与B是可交换的.例5还表明，矩阵AO，BO，但却有BAO.这里要特别注意的是：若有两个矩阵,AB尽管满足ABO，也不