2017年高考数学文二轮复习课件：专题整合突破-专题8-系列4选讲-第1讲(选修4-4)坐标系与参数

专题八系列4选讲第二编专题整合突破第一讲(选修4－4)坐标系与参数方程主干知识整合[必记公式]直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.[重要结论]1．圆的极坐标方程(1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；②当圆心位于M(a,0)，半径为a：；③当圆心位于Ma，π2，半径为a：ρ＝2asinθ.ρ＝2acosθ2．直线的极坐标方程(1)若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：；③直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.ρcosθ＝a3．几种常见曲线的参数方程(1)圆①以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinα，其中α是参数．②当圆心在(0,0)时，方程为x＝rcosα，y＝rsinα，其中α是参数．(2)椭圆①椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程是x＝acosφ，y＝bsinφ，其中φ是参数．②椭圆x2b2＋y2a2＝1(ab0)的参数方程是x＝bcosφ，y＝asinφ，其中φ是参数．(3)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，其中t是参数．4．直线参数方程中参数t的几何意义过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)①.通常称①为直线l的参数方程的“标准式”．其中参数t的几何意义是：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.当0απ时，sinα0，所以，直线l的单位方向向量e的方向总是向上．此时，若t0，则M0M→的方向向上；若t0，则M0M→的方向向下；若t＝0，则点M与点M0重合，即当点M在M0上方时，有t＝|M0M→|；当点M在M0下方时，有t＝－|M0M→|.[失分警示]1．极坐标与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．热点考向探究考点极坐标方程及其应用典例示法典例1已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ2π)．[解](1)将x＝4＋5cost，y＝5＋5sint消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0，解得x＝1，y＝1或x＝0，y＝2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2，π4，2，π2.解决极坐标系问题的策略(1)如果题目中曲线的极坐标方程比较容易化成直角坐标方程，则可以统一转化到直角坐标系中，利用直角坐标系的定理、公式解题．(2)如果题目中曲线的极坐标方程比较复杂，不方便化成直角坐标方程或者极坐标系中的极角、极径关系比较明显，比如已知两个点的极坐标，求两个点间的距离，则可以直接利用已知的极角、极径结合余弦定理求距离．针对训练[2016·衡阳联考]在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a0)，l：ρcosθ－π3＝32，C与l有且仅有一个公共点．(1)求a；(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝π3，求|OA|＋|OB|的最大值．解(1)曲线C：ρ＝2acosθ(a0)，变形ρ2＝2ρacosθ，化为x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2.∴曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcosθ－π3＝32，展开为12ρcosθ＋32ρsinθ＝32，∴l的直角坐标方程为x＋3y－3＝0.由题可知直线l与圆C相切，即|a－3|2＝a，解得a＝1.(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋π3，则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cosθ＋π3＝3cosθ－3sinθ＝23cosθ＋π6，当θ＝－π6时，|OA|＋|OB|取得最大值23.考点参数方程及其应用典例示法典例2[2014·全国卷Ⅰ]已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解](1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.1．参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式：①t·1t＝1；②t＋1t2－t－1t2＝4；③2t1＋t22＋1－t21＋t22＝1.2．参数方程表示的曲线的综合问题的求解思路(1)可以统一成普通方程处理．(2)利用参数方程中参数解决问题，如利用直线参数方程中参数的几何意义解决与距离有关的问题，利用圆锥曲线参数方程中的参数角θ解决与最值相关的问题．针对训练[2016·唐山统考]将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；(2)求|AC|－|BD|.解(1)由题意可得C2：x22＋y2＝1，l：x＝1＋32t，y＝12t(t为参数)．(2)将x＝1＋32t，y＝12t代入x22＋y2＝1，整理得5t2＋43t－4＝0.设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－435，且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cos30°＝3，故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋3＝35.考点极坐标方程与参数方程的综合应用典例示法典例3[2015·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤απ.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．[解](1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤απ.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.解决极坐标方程、参数方程综合问题的方法与极坐标方程、参数方程相关的问题往往涉及直线、圆、椭圆，处理的基本思路是把它们化为直角坐标方程或普通方程，利用直角坐标方程或普通方程解决实际问题，另外若涉及有关最值或参数范围问题时可利用参数方程，化为三角函数的最值问题处理．针对训练[2016·西安质检]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝42.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程．(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．解(1)对于曲线C1有x3＝cosα，y＝sinα，则x32＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，即C1的普通方程为x23＋y2＝1.对于曲线C2有ρsinθ＋π4＝22ρ(cosθ＋sinθ)＝42⇔ρcosθ＋ρsinθ＝8⇔x＋y－8＝0，所以C2的直角坐标方程为x＋y－8＝0.(2)显然椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上点P(3cosα，sinα)到直线x＋y－8＝0的距离为d＝|3cosα＋sinα－8|2＝2sinα＋π3－82，当sinα＋π3＝1时，d取最小值为32，此时点P的坐标为32，12.高考随堂演练[全国卷高考真题调研]1．[2016·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率．解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153.所以l的斜率为153或－153.2．[2015·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解(1)因为