概率的加法公式及应用

第1页共2页概率的加法公式及应用概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率．在学习时，要注意把握以下几点：一、注意区分互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件既有联系又有区别．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．明确了事件间的关系，解复杂事件的概率问题就会有的放矢．例1从129，，，中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是（）．（Ａ）①（Ｂ）②④（Ｃ）③（Ｄ）①③解析：首先看是否为互斥事件，然后再看两事件是否必有一个发生，若必有一个发生，则为对立事件，否则，不是对立事件．因为从1，2，…，9中任取两数，有以下三种情况：两个奇数；两个偶数；一个奇数和一个偶数，所以“至少有一个奇数”的对立事件显然是“两个都是偶数”，故选（Ｃ）．二、准确应用互斥事件的概率加法公式若事件A与B互斥，则()()()PABPAPB（推广情况1212()()()()nnPAAAPAPAPA），利用这一公式解题体现了化整为零、化难为易的思想．但要注意用此公式时，首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．例2甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论，目标被命中的概率为0.650.601.25，为什么？解析：不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不是互斥事件，故不能使用概率加法公式计算，且概率不可能大于１，结论显然不对．例3某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：年最高水位（m）810，1012，1214，1416，1618，概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流此处的年最高水位在下列范围内的概率：（1）1018m，；（2）814m，．解析：记此处河流的年最高水位在810，，1012，，1214，，1416，，1618(m)，范围内分别为事件ABCDE，，，，，则这5个事件是彼此互斥的，据互斥事件概率加法公式：（1）此处河流的年最高水位在1018(m)，的概率是()()()()()0.90PBCDEPBPCPDPE．（2）此处河流的年最高水位在814(m)，的概率是第2页共2页()()()()0.76PABCPAPBPC．三、灵活运用对立事件的概率加法公式如果A与A互为对立事件，则()1PAA，即()1()PAPA．利用此公式，可以简化概率的计算，特别在求某些概率问题时，可逆向思考，考查其对立事件，从而轻松获解．例4一所大学有科学、艺术、计算机3个学生协会，它们分别有45，38，54个成员，一些成员属于不止一个协会，具体情况如图所示．随机选取1个成员，它属于不止一个协会的概率是多少？分析：求属于不止一个协会的概率较为复杂，需要分情况讨论，如果我们转化为求此事件的对立事件，就会比较简便．解：用A表示事件“选取的成员只属于一个协会”，则A就表示“选取的成员属于不止一个协会”．因此由图即知，16102046()8787PA，从而得41()1()0.4787PAPA．