D3-2-1 定积分基础 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

第3部分一元函数积分学3.1不定积分3.2定积分3.2定积分3.2.1两个实例3.2.2定积分的概念3.2.3定积分的性质3.2.4微积分基本定理(必考)3.2.5换元积分法&分部积分法(必考)3.2.6定积分的应用（面积&体积）oxy)(xfyba轴所围成的平面图形为曲边梯形.设f(x)为闭区间[a,b]上连续函数，且()0fx，x∈[a,b],称由曲线y=f(x),直线x=a,x=b以及x1.曲边梯形的面积3.2.1两个实例?Aabxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放.110bxxxxann下面讨论如何求曲边梯形的面积.具体做法如下：（1）分割这些点把[a,b]分割成n个小区间1[,],1,2,,.iixxin它的长度为1,1,2,,.iiixxxin再用直线,1,2,,1ixxin把曲边梯形分割成n个小在区间内任加入n－1个分点它们依次为)(xfyxyOab1x1ixix曲边梯形.,,,,121nxxx（2）近似代替（已“直”代“曲”）在每个小区间1[,]iixx上任取一点,i作以()if为高，1[,]iixx为底的小矩形.当分割[a,b]的分点较多，且分割得较细密时，由于f(x)是连续函数，所以它在每个小区间上的值变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积.就是说第i个小曲边梯形的面积),2,,(1iiifxAin，xyOab1x1ixixi1().niiiAfx（3）求和将n个小矩形的面积加起来，它是曲边梯形面积的近似值，也即xyOab1x1ixixi多，且对[a,b]无限细分时，如果此和式与某一常数（4）取极限显然，1()niiifx与区间[a,b]的分割方法有关,也与i的选取有关.但是可以想象，当分点无限增无限接近，且与分点ix以及点的选取无关时,则此常数应该是该曲边梯形的面积.令则12max{,,}nxxx01lim()niiiAfx曲边梯形面积为i12(),,vttTT()1,2,iiivtSin，0tnt1T2TiS，niiiniittvSS11)(1max{}iint，011lim()nniiiiiSSvt，i2T1T2.变速直线运动物体的路程设一物体沿直线运动,速度为解决变速运动的路程的基本思路:把整段时间分割tt1titn-1v(t)求在时刻t=到t=之间所产生的位移S.路程=速度×时间令ti-1某时刻的速度iniixfA)(lim1001lim()niiiSvt（1）分割（3）求和（4）取极限（2）近似3.2定积分3.2.1两个实例3.2.2定积分的概念3.2.3定积分的性质3.2.4微积分基本定理3.2.5定积分换元积分法和分部积分法设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba怎样的分法，在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作和式iinixfS)(1，定义也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，若3.2.2定积分的概念badxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和式iinixf)(lim10存在，称这个极限为函数)(xf在注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.而与积分变量的字母无关.曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.()[,]()baAfxabAfxdx其面积等于在区间上的定积分:对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.()0fxbaAdxxf)(曲边梯形的面积()0fxbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义abxyooyabx积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx,)(1A2A3A321)(AAAdxxfbaxyoab例1利用定义计算定积分120xdxxyo12xyni1ninnifAi1)(nni122解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)小区间],[1iixx的长度nxi1，(ni,,2,1)(1)分割iiixn，(ni,,2,1)iinixf)(1iinix21,12iniixx（2）取点（3）求和nnini121niin12316)12)(1(13nnnn,121161nnn0dxx102iinix210limnnn121161lim.31例2dxx1021计算积分：由定积分的几何意义知，该积解分值等于的面积（见下图）所围及轴，曲线10,12xxxxyx1y面积值为圆的面积的4141102dxx所以o3.2定积分3.2.1两个实例3.2.2定积分的概念3.2.3定积分的性质3.2.4微积分基本定理3.2.5定积分换元积分法和分部积分法badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质3.2.3定积分的性质babadxxfkdxxkf)()((k为常数).badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.（定积分对于积分区间具有可加性）性质dxba1dxbaab.则0)(dxxfba.)(ba性质性质如果在区间],[ba上0)(xf，推论：则dxxfba)(dxxgba)(.)(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，小结badxxf)(iinixf)(lim10定积分的实质：特殊和式的极限．定积分的思想和方法：求和积零为整取极限精确值——定积分化整为零分割直（不变）代曲（变）近似对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.定积分的性质badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.babadxxfkdxxkf)()((k为常数).badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.思考题①请写出定积分的几何意义②定积分的值与哪些因素有关③请用定积分的性质说明，以下两个积分值哪个更大102dxx103dxx3.2定积分3.2.1两个实例3.2.2定积分的概念3.2.3定积分的性质3.2.4微积分基本定理（必考）3.2.5定积分换元积分法和分部积分法定理（微积分基本定理,Newton-Leibniz公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.微积分基本公式表明：一个连续函数在区间],[ba上的定积分可用它的任意一个原函数在区间],[ba端点上的值来表示.例1求.)1sincos2(20dxxx原式202sincosxxx.23例2设,求.215102)(xxxxf20)(dxxf解解102120)()()(dxxfdxxfdxxf在]2,1[上规定当1x时，5)(xf,102152dxxdx原式.6xyo12例3求解.112dxx当0x时，x1的一个原函数是||lnx,dxx12112||lnx.2ln2ln1ln例4计算曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形的面积.解面积xyo0sinxdxA0cosx.23.2定积分3.2.1两个实例3.2.2定积分的概念3.2.3定积分的性质3.2.4微积分基本定理3.2.5定积分换元积分法和分部积分法定理假设（1）)(xf在],[ba上连续；（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.1.换元积分法应用换元公式时应注意:（1）求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.（2）用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.上下限不回带例1计算.sincos205xdxx解令,cosxt2x,0t0x,1t205sincosxdxx015dtt1066t.61,sinxdxdt例2计算解.sinsin053dxxxxxxf53sinsin)(23sincosxx053sinsindxxx023sincosdxxx2023sincosdxxx223sincosdxxx2023sinsinxdx223sinsinxdx2025sin52x225sin52x.54例3计算解2201.(0)adxaxax令,sintax,costdtadx原式2022)sin1(sincosdttatata20cossincosdtttt20cossinsincos121dttttt20cossinln21221tt.4ax,2t0x,0t220011sincos2sincosdtdtttt例4当)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.对称区间积分：记住结论奇函数例5计算解.11cos21122dxxxxx原式1122112dxxx11211cosdxxxx偶函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4单位圆的面积#定理假设（1）)(xf在],[ba上连续；（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.换元公式4423cos1dxxx课堂练习3344222200444122tan2coscoscoscosxdxxdxdxxxxxx444421xxdx21,1,2,2,1;4,3txxtdxtdtxtxt设则当时当时所以332211212(1)11dxtdtdttttxx42312arctant23