计量地理学-3.6-趋势面分析

趋势面分析的一般原理1趋势面模型的适度检验2趋势面分析应用实例3趋势面分析方法趋势面模型的参数估计趋势面模型的建立趋势面拟合适度的显著性F检验趋势面拟合适度的R2检验趋势面适度的逐次检验什么是趋势面？自然资源、环境、人口社会经济等变量在地理空间上具有一定程度分布规律。地理要素在地理空间上的分布可以看作是——某变量Z在二维坐标空间(X,Y)上的变化函数（曲面），此即为趋势面。趋势面是一种抽象的数学曲面，它抽象简化并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使地理要素的空间分布规律明显化。所谓趋势面分析，是利用数学曲面模拟地理系统要素在空间上的分布及变化趋势的一种数学方法。它实质上是通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二维线性或非线性函数，模拟地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变化趋势。真实地理曲面趋势面反映地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用的结果。剩余面对应于微观局域，是随机因素影响的结果。趋势面剩余面趋势面分析趋势值最大化、剩余值最小化原则。趋势面模型的建立设某地理要素的实际观测数据为，趋势面拟合值为，则有：,n)1,2,)(i,y(xziii),y(xziiiˆiiiiiiiyxzyxz),(ˆ),(式中εi即为剩余值（残差值/误差值）趋势面真实曲面剩余面刻画了地理要素的实际分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动关系。趋势面分析的核心——从实际观测值出发推算趋势面，一般采用回归分析方法，依据最小二乘法原理，使得残差平方和趋于最小，即：min)],(ˆ),([1212niiiiiiiniyxzyxzQ如何选择确定变量Z和地理坐标(X,Y)之间的函数表达式？𝑍=𝑓(𝑥,𝑦)多项式函数和傅立叶级数……其中最为常用的是多项式函数形式，因为任何一个函数都可以在一个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可使所求的回归方程适合实际问题的需要。什么是多项式函数？多项式趋势面的形式①一次多项式函数模型②二次多项式函数模型③三次多项式函数模型yaxaaz21025423210yaxyaxayaxaaz25423210yaxyaxayaxaaz39282736yaxyayxaxa什么是多项式函数的次数？变量x和y的幂次乘积的最高次数k次多项式函数一共有多少个变量x和y的幂次乘积组合？假设(k-1)次多项式函数的幂次乘积组合的数量是nk-1，当多项式次数从(k-1)增加至k时，增加了如下内容：xky0,xk-1y1,xk-2y2,xk-3y3,…,x1yk-1,x0yk.所以nk=nk-1+(k+1).趋势面模型的参数估计实质：最小二乘估计原理根据观测值zi，xi，yi(i=1,2,…,n)确定多项式的系数a0，a1，…，ap，使得残差平方和Q最小。思路：将多项式函数的非线性形式转换成线性形式。,,,,,2542321yxxyxxxyxxx令25423210yaxyaxayaxaazppxaxaxaaz22110ˆ其残差平方和为nipipiiiniiixaxaxaazzzQ122211012)]([]ˆ[根据取极值的条件，求得残差平方和Q对a0，a1，…，ap的偏导数，并令其等于0，得p+1个偏微分方程组(式中a0，a1，…，ap为p+1个未知量）。………………………………多元线性回归模型的参数估计求解出多项式趋势面模型的各个系数a0，a1，…，ap25423210yaxyaxayaxaaz得出趋势面分析的多项式拟合模型：接着…………???需要注意的是，在实际应用中，往往用次数低的趋势面逼近变化比较小的地理要素数据，用次数高的趋势面逼近起伏变化比较复杂的地理要素数据。次数低的趋势面使用起来比较方便，但具体到某点拟合较差；次数较高的趋势面只在观测点附近效果较好，而在外推和内插时则效果较差。趋势面模型的适度检验趋势面分析拟合程度与回归模型的效果直接相关，因此，对趋势面分析进行适度性检验是一个关系到趋势面能否在实际研究中加以应用的关键问题，也是趋势面分析中不可缺少的重要环节。三种检验方法的原理/目的？三种检验方法的关系？三种检验方法的区别？趋势面拟合适度的R2检验趋势面拟合适度的显著性F检验趋势面适度的逐次检验趋势面分析检验趋势面拟合适度的R2检验趋势面拟合适度的R2检验是采用拟合度系数R2是测定回归模型拟合优度的重要指标。总离差平方和niiRzzSS12)ˆ(回归平方和niiiDzzSS12)ˆ(剩余平方和RDniiniiiTSSSSzzzzSS1212)ˆ()ˆ(表示随机因素对离差的影响表示自变量对因变量的离差的总影响SSR越大，SSD越小，就表示因变量与自变量的关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。一般用变量z的总离差平方和中回归平方和所占的比重表示回归模型的拟合优度，即拟合度系数R2=回归平方和/总离差平方和。拟合度系数R2=回归平方和/总离差平方和TDTRSSSSSSSSR12性质：1)R2取值范围是[0,1]；2)R2越大(越接近100%)，趋势面拟合效果越高；3)多项式函数的次数越高，拟合度系数R2就越大。为追求更优的趋势面拟合效果，应该采用次数更高的多项式函数模型？趋势面拟合适度的显著性F检验趋势面拟合适度的F检验，是对趋势面回归模型整体的显著性检验，即判断拟合结果是否具有可信度以及具有多大的置信区间。显著性检验方法：利用变量z的总离差平方和SST中，剩余平方和SSD与回归平方和SSR的比值，来确定变量z与自变量x、y之间的回归关系是否显著，显著性检验F统计量为：1//pnSSpSSFDR结果分析：在显著性水平α下，查F分布表得其临界值Fα，若实际计算的F值大于临界值Fα，则认为趋势面方程显著，置信区间为1-α；反之则不显著。F统计量的第1自由度/分子自由度，即f1=pF统计量的第2自由度/分母自由度，即f2=n-p-1n是样本量；p是多项式函数非线性转换成线性形式后，多元线性回归模型的自变量个数趋势面适度的逐次检验多项式函数的次数越高将带来更高的拟合效果，但是更高次数的多项式函数一方面增加了趋势面拟合的复杂程度，另一方面过分追求细节精度反而会丧失整体趋势特征。趋势面适度逐次检验目的是考核多项式函数的次数由低至高是否对趋势面拟合回归作出了新贡献，以此来决定适宜选择的多项式函数的次数。趋势面适度逐次检验方法是考虑多项式次数增高带来的适度性比较检验值F是否通过具备显著性。若F值显著，则较高次数多项式对回归产生了新贡献；若F值不显著，则较高次数多项式对回归并没有新贡献。如何计算适度性比较检验值F？1//pnSSpSSFDR回归均方差=SSR/f1剩余均方差=SSD/f2显著性检验F统计量(k+1)次多项式方程：回归平方和剩余平方和)1(KRSS)1(KDSS第1自由度f1=p第2自由度f2=n-p-1回归均方差剩余均方差)1/()1()1(pnSSMSKDKDpSSMSKRKR/)1()1()1()1(/KDKRMSMSF(k)次多项式方程：回归平方和剩余平方和)(KRSS)(KDSS第1自由度f1=q第2自由度f2=n-q-1回归均方差剩余均方差qSSMSKRKR/)()()1/()()(qnSSMSKDKD)()(/KDKRMSMSF(k)-(k+1):KRKRIRSSSSSS)1()(回归平方和的增量ΔSSR第1自由度的增量Δf1=p-q)/()()(qpSSMSIRIR由于多项式次数增高所产生的回归均方差=ΔSSR/Δf1逐次检验F统计量是上述回归均方差除以(k+1)次多项式的剩余均方差，即)1()(/KDIRMSMSFF值是显著的，则较高次多项式对回归作出了新贡献，若F值不显著，则较高次多项式对于回归并无新贡献。多项式趋势面由K次增高至(K+1)次的回归显著性检验离差来源平方和自由度均方差F检验（K+1）次回归p（K+1）次剩余n–p–1K次回归qK次剩余n–q–1由K次增高至（K+1）次的回归p–q总离差SST)1(KRSS)1(KDSSpSSMSKRKR/)!()1()1/()!()1(pnSSMSKDKD)1()1(/KDKRMSMS)(KRSS)(KDSSqSSMSKRKR/)()()1/()()(qnSSMSKDKD)()(/KDKRMSMS)1()(/KDIRMSMS)/()()(qpSSMSIRIRKRKRIRSSSSSS)1()(趋势面分析应用实例某流域1月份降水量与各观测点的坐标位置数据如下表所示。下面以降水量为因变量z，地理位置的横坐标和纵坐标分别为自变量x、y，进行趋势面分析，并对趋势面方程进行三种适度检验。序号降水量Z/mm横坐标x/104m纵坐标y/104m12345678910111227.638.42424.73255.540.437.53131.75344.901.11.82.953.41.80.70.20.851.652.653.6510.6000.21.71.323.353.153.12.55流域降水量及观测点的地理位置数据首先采用二次多项式进行趋势面拟合：25423210yaxyaxayaxaazppxaxaxaaz22110ˆ用最小二乘法求得拟合方程为：22070.8357.0558.3787.29438.17998.5yxyxyxz236.6,839.02FR总离差平方和RDniiniiiTSSSSzzzzSS1212)ˆ()ˆ(剩余平方和回归平方和TDTRSSSSSSSSR121//pnSSpSSFDR(n=12,p=5)首先采用三次多项式进行趋势面拟合：用最小二乘法求得拟合方程为：25423210yaxyaxayaxaaz39282736yaxyayxaxappxaxaxaaz22110ˆxyxyxz166.33389.8130.130557.37810.48232232785.9566.2138.6133.4740.62yxyyxxy054.6,965.02FR总离差平方和RDniiniiiTSSSSzzzzSS1212)ˆ()ˆ(剩余平方和回归平方和TDTRSSSSSSSSR121//pnSSpSSFDR(n=12,p=9)某流域降水量的三次多项式趋势面某流域降水量的二次多项式趋势面(1)趋势面拟合适度的R2检验:根据R2检验方法计算，结果表明，二次趋势面的判定系数为R22=0.839，三次趋势面的判定系数为R32=0.965，可见二次趋势面回归模型和三次趋势面回归模型的显著性都较高，而且三次趋势面较二次趋势面具有更高的拟合程度。(2)趋势面适度的显著性F检验:根据F检验方法计算，结果表明，二次趋势面和三次趋势面的F值分别为F2=6.236和F3=6.054。二次趋势面和三次趋势面的变量数分别为p=5，p=9，样本数均为n=12。在置信水平α=0.05下，查F分布表得：显然，，故二次趋势面的回归方程显著而三次趋势面不显著。因此，F检验的结果表明，用二次趋势面进行拟合比较合理。53.4)6,5(05.02FFa4.19)2,9(05.03FF22FF33FF(3)趋势面适度的逐次检验：SSR3=1129.789SSR2=982.244SSD3=41.474SSD2=189.018f1=p=9f2=n-p-1=2f1=p=5f2=n-p-1=6剩余均方差回归均方差回归均方差剩余均方差第1自由度第2自由度第1自由度第2自由度剩余均方差回归均方差剩余均方差回归均方差MSR3=SSR3/f1=125.532MSR2=SSR2/f1=196.449MSD3=SSD3/f2