内积空间,正规矩阵与H-矩阵

第三章内积空间，正规矩阵与H-矩阵定义：设是实数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：VRnV,(,)(1)(,)(,)(2)(,)(,)(3)(,)(,)(,)(4)(,)0kk这里是中任意向量，为任意实数,只有当时，我们称带有这样内积的维线性空间为欧氏空间。例1在中，对于规定容易验证是上的一个内积，从而成为一个欧氏空间。如果规定,,Vk0(,)0nVnR1212(,,,),(,,,)nnxxxyyy11122(,)nnxyxyxy1(,)nRnR21122(,)2nnxyxynxy容易验证也是上的一个内积,这样又成为另外一个欧氏空间。2(,)nR例2在维线性空间中，规定容易验证这是上的一个内积，这样对于这个内积成为一个欧氏空间。例3在线性空间中，规定nmRnm(,)()TABtrAB[,]CabnmRnmRnR(,)()()bafgfxgxdx容易验证是上的一个内积，这样对于这个内积成为一个欧氏空间。定义：设是复数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：(,)fg[,]Cab[,]CabVCnV,(,)(1)(,)(,)(2)(,)(,)(3)(,)(,)(,)(4)(,)0kk这里是中任意向量，为任意复数,只有当时，我们称带有这样内积的维线性空间为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。例1设是维复向量空间，任取,,0(,)0nVVknCn1212(,,,),(,,,)nnaaabbb规定容易验证是上的一个内积，从而成为一个酉空间。例2设表示闭区间上的所有连续复值函数组成的线性空间，定义1122(,):()Tnnababab(,)nCnC[,]Cab[,]ab(,):()()bafgfxgxdx容易验证是上的一个内积，于是便成为一个酉空间。例3在维线性空间中，规定其中表示中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证是上的一个内积，从而连同这个内积一起成为酉空间。内积空间的基本性质：(,)[,]Cab[,]Cab2nnnC(,)()HABtrABHBB(,)nnCnnC1111(1)(,)(,)(2)(,)(,)(,)(3)(,)(,)(4)(,)(,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk欧氏空间的性质：酉空间的性质：1111(1)(,)(,)(2)(,)(,)(,)(3)(,)(,)(4)(,)(,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk定义：设是维酉空间，为其一组基底，对于中的任意两个向量那么与的内积VniV11,nniijjijxy11,1(,)(,)(,)nnniiiiijijijijxyxy令(,),,1,2,,ijijgijn111212122212nnnnnnggggggGggg称为基底的度量矩阵，而且定义：设，用表示以的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，记Gi,()TijijggGGnnACAA()HTAA则称为的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质：HAA(1)()(2)()(3)()(4)()HTHHHHHHHHAAABABkAkAABBA11(5)()()(6)()(7)(8)()()kHHkHHHHAAAAAAAA定义：设,如果，那么称为Hermite矩阵；如果，那么称为反Hermite矩阵。例判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。nnACHAAAHAAA4242(1)2142126123(2)1291317iiiiiiiiiiiii018(3)1048403132(4)134152155iiiiiiiiiiii熟悉下列概念:（1）实对称矩阵（2）反实对称矩阵（3）欧氏空间的度量矩阵（4）酉空间的度量矩阵内积空间的度量定义：设为酉（欧氏）空间，向量的长度定义为非负实数例在中求下列向量的长度VV(,)4C(1)(12,,3,22)(2)(1,2,3,4)iii解：根据上面的公式可知一般地，我们有:对于中的任意向量其长度为5196211491630nC12(,,,)naaa21niia这里表示复数的模。定理：向量长度具有如下性质当且仅当时，iaia(1)000(2),kkkC(3)(4)(,)例1：在线性空间中，证明例2设表示闭区间上的所有连续复值函数组成的线性空间，证明：对于任意的，我们有()nnMC()()()HHHTrABTrAATrBB[,]Cab[,]ab(),()[,]fxgxCab22()()()()()()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx定义：设为欧氏空间，两个非零向量的夹角定义为于是有定理：V,(,),:arccos0,2,(,)02因此我们引入下面的概念;定义：在酉空间中，如果，则称与正交。定义：长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量，向量总是单位向量，称此过程为单位化。V(,)0标准正交基底与Schmidt正交化方法定义设为一组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。定义如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。例在中向量组ii3C123212221[,,],[,,]333333122[,,]333与向量组都是标准正交向量组。123[cos,0,sin],[0,1,0][sin,0,cos]ii定义：在维内积空间中，由个正交向量组成的基底称为正交基底；由个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。定理：向量组为正交向量组的充分必要条件是向量组为标准正交向量组的充分必要条件是nnni(,)0,ijiji定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。Schmidt正交化与单位化过程:设为维内积空间中的个线性无关的向量，利用这个向量完全可以构造一个标准正交向量组。1(,)0ijijijijVnr12,,,rr11212211111111111,,,,,,rrrrrrrr第一步正交化容易验证是一个正交向量组.12,,,r第二步单位化显然是一个标准的正交向量组。例1运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。解：先正交化121212,,,rrr12,,,r1231,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,11121221113132331211221,1,0,0,11,,1,0,22,,111,,,1,,333再单位化11122233311,,0,022112,,,06661113,,,23232323那么即为所求的标准正交向量组。例2求下面齐次线性方程组123,,1234123412340234023450xxxxxxxxxxxx其解空间的一个标准正交基底。解：先求出其一个基础解系下面对进行正交化与单位化：121,2,0,1,2,3,0,1XX12,XX112122111111222(,)214,,,1;(,)333121,,,06662143,,,3030303XXX即为其解空间的一个标准正交基底。12,酉变换与正交变换定义：设为一个阶复矩阵，如果其满足则称是酉矩阵，一般记为设为一个阶实矩阵，如果其满足则称是正交矩阵，一般记为AnHHAAAAIAnnAUAnTTAAAAIAnnAE例：22022(1)10022022是一个正交矩阵212333221(2)333122333是一个正交矩阵是一个正交矩阵cossin(3)sincos（5）设且，如果则是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵。1nC1H2HAIAcos0sin(4)010sin0cosii是一个酉矩阵酉矩阵与正交矩阵的性质：设，那么设，那么,nnABU1(1)(2)det()1(3),HnnnnAAUAABBAU,nnABE1(1)(2)det()1(3),TnnnnAAEAABBAE定理：设，是一个酉矩阵的充分必要条件为的个列（或行）向量组是标准正交向量组。定义：设是一个维酉空间，是的一个线性变换，如果对任意的都有nnACAnAVnV,V((),())(,)则称是的一个酉变换。定理：设是一个维酉空间，是的一个线性变换，那么下列陈述等价：（1）是酉变换；（3）将的标准正交基底变成标准正交基底；（4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。注意：关于正交变换也有类似的刻划。VVnV(2)(),VV幂等矩阵定义：设，如果满足则称是一个幂等矩阵。例是一个分块幂等矩阵。nnACA2AAA(),rnnrnrIMACMCOO幂等矩阵的一些性质：设是幂等矩阵，那么有（1）都是幂等矩阵；（2）（3）（4）的充分必要条件是（5）A,,,,THTHAAIAIAIA()()0AIAIAA()()NARIAAxx()xRA1()()nCRANA定理：设是一个秩为的阶矩阵，那么为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在使得推论：设是一个阶幂等矩阵，则有定义：设为一个维标准正交列向量组，那么称型矩阵AnrAnnnPC1rIOPAPOO()()trARankAAn12,,,rnnr112,,,rU为一个次酉矩阵。一般地将其记为定理：设为一个阶矩阵，则的充分必要条件是存在一个型次酉矩阵使得其中。要证明定理,先看下面的引理.An2HAAAnr1nrrUU1nrrUU11HAUU()rRankA引理：的充分必要条件是证明：设，那么1nrrUU11HrrUUI112,,,rU121()()()TTHTrU必要性：如果为一个维标准正交列向量组，那么12,,,rn121112111212122212()(),,,()()()()()()()()()()TTHrTrTTTrTTTrTTTrrrrUU