研-统计3抽样误差t分布参数估计

均数的抽样误差，t分布，参数估计Samplingerrorofmean，t-distribution，parameters’estimation张建军汕大医学院预防医学教研室Tel:0754-88900445Email:[e-mail]主要内容•均数的抽样误差•t分布•参数估计•概念：频数分布以均数为中心，左右两侧基本对称，靠近均数两侧频数较多，离均数愈远，频数愈少，形成一个中间多，两侧逐渐减少的对称分布。•是一种连续型分布。又称高斯分布.回顾：正态分布(normaldistribution)•正态分布用N(µ,)表示，其位置与均数有关，形状与标准差有关。•医学现象许多呈正态分布，或近似正态分布：如正常人的生理，生化指标变量，等2•正态分布的密度函数：式中μ为均数；σ为标准差；π为圆周率；е为自然对数的底，即2.71828。以上均为常数，仅x为变量。x2()1()[]21()2xfxe(1)•标准正态分布:•为了应用方便，常将式进行变量变换，即：u变换.所得到的新变量u的分布即为标准正态分布。•u的含义：变量到均数间的距离相当于标准差的倍数。xux标准正态分布的概率密度函数：(2)u2()21()2uue•正态分布的特征和分布规律：•（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交，当x=μ时，曲线位于最高点。f(u=0)=0.3989•（2）曲线关于直线x=μ左右对称。•（3）正态分布有两个参数:均数,标准差;标准正态的参数分别为:0,1•（4）正态分布的面积分布有一定规律。正态分布标准正态分布面积(或概率)μ-1σ__μ+1σ-1__+168.27%μ–1.96σ__μ+1.96σ-1.96__+1.9695.00%μ–2.58σ__μ+2.58σ-2.58__+2.5899.00%正态分布和标准正态分布曲线下面积分布规律（-1，1），68.27%（-1.96，1.96），95%（-2.58，2.58），99%双侧概率单侧概率请思考：•抽样？•统计量？•抽样分布？一、均数的抽样误差和标准误均数的抽样误差samplingerrorofmean由于总体中存在个体变异，抽样研究中所抽取的样本，只包含总体中一部分个体，因而样本均数（或率）往往不等于总体均数（或率），样本均数之间也互不相等，这种由抽样引起的差异称为均数的抽样误差的体现。即：iXijXX•如何估计抽样误差？•标准误standarderror，SE•以样本均数为例：•SE越大，均数的抽样误差越大，样本均数与总体均数间的差异越大。XSSnXn•当样本例数一定时，样本均数的标准误与原始数据的标准差成正比；当标准差一定时，标准误与样本含量n的平方根成反比。增加样本含量可以减小抽样误差。•与标准差的区别：•标准差：表示一般个体值的离散程度；•标准误：特别说明统计量的离散程度。再思考一个问题：•其它的统计量有抽样误差吗？•它们的计算公式怎样？XnXSSn标准误的应用1、用来衡量抽样误差的大小:标准误越小，样本均数与总体均数越接近，样本均数的可信度越高；2、结合标准正态分布与t分布曲线下的面积规律，估计总体均数的置信区间。3、用于假设检验。•假定2003年汕头市15岁女学生的身高服从均数155.4cm、标准差5.3cm的正态分布。用计算机做抽样模拟试验，从N(155.4,5.32)的总体中，每次抽出10个数字（样本含量为10），组成一个样本，求出样本均数、样本标准差S。再求得此100个样本均数的均数、样本均数的标准差。X抽样分布•样本均数的标准差是什么？……..•标准误•100个样本均数构成一个新的分布，也是正态分布。•即使原分布为偏态分布，当样本含量足够大时，新分布也近似正态分布）。新分布的集中趋势用均数的均数来表示，离散趋势用标准误表示N(,)。•各样本均数的均数等于总体均数。2X0501001502002503003504004502.082.342.612.873.143.403.663.934.194.464.724.985.25均数频数0501001502002503003504004502.082.342.612.873.143.403.663.934.194.464.724.985.25均数频数0501001502002503003504004505002.082.342.612.873.143.403.663.934.194.464.724.985.25均数频数正态总体中抽样（样本量5）正态总体中抽样（样本量10）正态总体中抽样（样本量30）抽样时样本量大小决定了样本均数分布的形状，当样本量足够大时，均数分布趋向正态分布。二、t分布（t-distribution)还记得吗？xu•u转换将正态分布转换为标准正态,N(0,1)。•同理：将样本均数的分布也可以转换为标准正态分布。•即：2,()(0,1)XNNXXu•实际工作中，总体标准差往往未知，常用S代替σ计算标准误，因此：为了和u分布区别，就变为：/XXXtSSn均数的分布也是这样•如果我们采用另一个正态变量:•于是，均数的分布变成了标准正态分布:XXu2,()(0,1)XNNxu但是，条件发生了变化•我们通常用代替•然而，随着样本量的变化而变化，所以，我们称之为t-分布，虽然它是正态分布，但只有当样本量（自由度）无穷大的时候，它才是标准正态分布，此时，u=t/XXXtSSnXXuXXSXSt分布曲线•t分布是一簇对称于0的单峰分布曲线。•自由度越小（相当于标准差大），曲线的中间越低，两边越高；随自由度增大，t分布曲线逐渐逼近于标准正态分布曲线。•当自由度无穷大时，t分布就是标准正态分布曲线。•每一条t分布曲线，都对应于相应的自由度。•t分布模拟试验t分布曲线下的面积规律•与标准正态曲线下的面积规律相似：•在某一个自由度下，两侧外部总面积为5%的界限的t值称为t0.05/2(υ),把两侧外部总面积为1%的界限的t值称为t0.01/2(υ)。•因此，中部占95%面积的t值范围：-t0.05/2(υ)--t0.05/2(υ),-中部占99%面积的t值范围：-t0.01/2(υ)--t0.01/2(υ)。•当自由度确定时，占一定面积的t界限值，可以查表得出。•例如：查当自由度=20，两侧概率之和为0.05时，对应的t值：•t0.05/2（20）=±2.086，•单侧概率为0.05时，对应的t值：•t0.05（20）=1.725，•一般，t0.05/2（v）≥1.96，t0.01/2（v）≥2.58•自由度越小，曲线越低平，t比1.96，2.58大的多；自由度变大，t接近于1.96，2.58；自由度无穷大，t=1.96，2.58•使用t值表注意：•同一自由度下,P越小，t值越大；P值相同时，自由度越大，t越小；当自由度无穷大时，t值与u值相等。这也是u分布与t分布的区别。t分布的主要应用：•总体均数置信区间估计；•t检验；三、总体均数置信区间的估计•统计推断：参数估计，假设检验•参数估计：•点估计（pointestimation):用样本统计量作为对总体参数的估计值(μ)。比如均数的估计。•区间估计(intervalestimation)：根据选定的置信度估计总体均数所在的区间（aμb).a,b为置信限（可信限）。•置信度（confidencelevel):•在估计总体均数的置信区间时，如果可能估计错误的概率为α，那么估计正确的概率为1-α,即为置信度.常用:95%,99%.•置信区间（confidenceinterval,CI)根据置信度估计得到的区间，称为置信区间。为何要进行区间估计？•点估计，即用样本均数来估计总体均数，简单易行，但未考虑抽样误差，而后者又是不可避免的。故常按照一定的概率估计总体均数在哪个范围。如何进行区间估计？•1、总体标准差已知•参照u分布，•95%置信区间：•99%置信区间：1.961.96XX1.961.96XXXX1.96,1.96XXXX2.58,2.58XXXX•2、总体标准差未知，样本例数(50)足够大•也可参考u分布进行•95%置信区间：•99%置信区间：2.58,2.58XXXSXS1.96,1.96XXXSXS•3、总体标准差未知，样本例数较小•按t分布原理，依据自由度，查出某个概率相应的t界值，•中部占95%面积的t值范围：•-t0.05/2(υ)___t0.05/2(υ),•占99%面积的t值范围：•-t0.01/2(υ)___t0.01/2(υ)进行估计。•因为：•95%的样本满足：•95%置信区间：•99%置信区间：XXtS0.05/2,0.05/2,,XXXtSXtS0.01/2,0.01/2,,XXXtSXtS0.05/2||,vXXtS•95%置信区间的意义：•理论上，用一次抽样所得的样本均数估计总体均数，犯错误的概率为5%.•或进行100次抽样，可算得100个置信区间，平均有95个置信区间包括客观存在的总体均数，只有5个置信区间未包括总体均数。估计置信区间的注意事项：（1）区间是以上、下可信限为界的一个范围。通常用表示置信限，用表示置信区间/2,*/2,*(,)XXXtSXtS/2,*XXtS（2）置信区间与正常值范围：95%正常值范围一般是指同质总体内包括95%个体值的估计范围，若总体为正态分布，常用：计算；95%置信区间是指按照95%置信度估计的总体参数的可能范围，常按照下式计算。前者用标准差，后者用标准误。1.96XS0.05/2,0.05/2,,XXXtSXtS•以上是均数抽样误差的相关内容。•这是针对某个总体进行的参数估计，对多个总体的参数推断又是什么呢？•且听下回！谢谢