高一春季(清北班)资料6(数列与不等式放缩)

第1页共8页专题六：数列与不等式放缩选讲1.放缩为等比数列求和的不等式1.已知数列na中的相邻两项21ka、2ka是关于x的方程232320kkxkxk的两个根，且2121,2,3,kkaak。（I）求1a、3a、5a的值；（II）求数列na的前2n项的和2nS；（III）记2341123456212sin11111(3),2sinffffnnnnnfnTnaaaaaaaa，求证：当*nN时，15624nT。2．（12广东理）设数列na的前n项和为nS,满足11221nnnSa,n*N,且1a、25a、3a成等差数列。（1）求1a的值；（2）求数列na的通项公式；（3）证明:对一切正整数n,有1211132naaa。第2页共8页2.放缩为裂项相消求和的不等式3．已知正数列{}na满足1111,(21)0()nnnnanaaaanN。{}na的前n项和为nS，数列{}nb满足111,(2)nnnSbbna。（1）求na；（2）求证:121117(1)(1)...(1)()2nnNbbb。4．数列{}na，2*111,23()nnaaannnN，。（1）求23,aa的值；（2）是否存在常数,，使得数列}{2nnan是等比数列，若存在，求出,的值；若不存在，说明理由；（3）设nnnnnbbbbSnab3211,21，证明：当652(1)(21)3nnnSnn时，。第3页共8页5.设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j，坐标平面上点nA、nB)(*Nn分别满足下列两个条件：①jOA41且1nnAAi*(,2)nNn；②112OBij且*11(,2)(1)nnBBjnNnnn．（其中O为坐标原点）（I）求向量nOA及向量nOB的坐标；（II）设nnnaOAOB，求na的通项公式并求na的最小值；（III）对于（Ⅱ）中的na，设数列36)1(2)1(cos2sinnannnbnn，nS为nb的前n项和，证明对所有*nN都有4889nS。6.已知函数2*()()(,)xfxxnNxRn。（1）证明：2111(0)()xxfxxn；（2）若数列na满足：111,()2nnaafa。证明：*63(3,)562nnannNn。第4页共8页7．已知数列na中，11422*31nnnaaanNa，。（1）求证：数列321nnaa是等比数列；（2）求na的通项公式na；（3）设na的前n项和为nS，求证：1111122221*212nnnnnnnnSnN。8．数列}{nb满足11b，121nnbb，若数列}{na满足11a，)111(121nnnbbbba)2(Nnn且。（Ⅰ）求2b，3b，4b及nb；（Ⅱ）证明：111nnnnbbaa)2(Nnn且；（Ⅲ）求证：310)11()11)(11)(11(321naaaa。第5页共8页9.已知数列na满足11121,.24nnnnanaanNan（1）求234,,aaa；（2）已知存在实数，使nnanan为公差为1的等差数列，求的值；（3）记22213nnnbnNa，数列nb的前n项和为nS，求证：23112nS。3.递归放缩10．已知函数23)(xxf，无穷数列{an}满足))((*1Nnafann。（1）求a1的值使得{an}为常数列；（2）确定a1的范围，使得nnaa1对一切*Nn均成立（只需写出结果，无需严格证明）；（3）若a1=3，求证：112111432223nnnaaa。第6页共8页11．已知函数()fx的定义域为[0,1]，且同时满足：①对任意[0,1]x，总有()2fx；②(1)3f；③若12120,01xxxx且，则有1212()()()2fxxfxfx。（1）求(0)f的值；（2）求()fx的最大值；（3）设数列na的前n项和为nS，且满足*111,(3),2nnaSanN。求证：123131()()()()2223nnfafafafan。12．设函数2()fxxaxb（a、b为实常数），已知不等式2()246fxxx对任意的实数x均成立。定义数列na和nb：113,2()3(2,3,...),nnaafannb＝1(1,2,...),2nna数列nb的前n项和nS。（1）求a、b的值；（2）求证：*1()3nSnN；（3）求证：12*21()nnanN。第7页共8页13．已知向量(1,0),(,1),abx当0x时，定义函数()abfxab。（1）求函数()yfx的反函数1()yfx；（2）数列{}na满足：*110,(),,nnaaafanNnS为数列{}na的前n项和，则：①当1a时，证明：12nna；②对任意[0,2],当2sin20naaS时，证明：2sin242sin2nnnnaaSaSaaSS或2sin22sin24nnnnaaSSaaSaS。4.均值不等式的放缩14.(11广东理)设0,b数列na满足111=,(2)22nnnnbaabanan,（1）求数列na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n,1112nnnba第8页共8页5.和结构对称式放缩15．已知{}na是各项都为正数的数列，nS为其前n项的和，且1111,()2nnnaSaa。（1）分别求22S，23S的值；（2）求数列{}na的通项na；（3）求证：12111112(1)23(1)nnSSnSS…。16．已知正项数列{}na、{}nb，对任意nN，有211,nnnnabbbn，数列{}na前n项和为nS。求证：（1）nnba；（2）12321nbbbbn；（3）当2n时，2322()23nnSSSSn。17．[]x表示不超过x的最大整数，正项数列{}na满足11,a2212211nnnnaaaa。（1）求数列{}na的通项公式na；（2）求证：2222321[log](2)2naaann…；（3）已知数列{}na的前n项和为,nS求证：当2n时，有2312212()log2123nnnSSSSSan…。