如何学好线性代数

如何学好线性代数同学们，当你们学完《高等数学》课程后，好不容易松口气，马上又要学《线性代数》课程了，总觉得数学课程是个负担。其实，《线性代数》与《高等数学》一样，是工科必学数学基础课，为什么呢？因为线性代数的知识在工程上应用广泛。线性代数与高等数学相比，不一样在于它研究的方法与高等数学相差太大，高等数学再难，毕竟是中学数学的延续，其内容不外是中学的内容加极限的思想而已，同学们接受起来比较容易。线性代数则不同，它在中学基本上没有“根”。其思维方式与以前学的数学迥然不同，概念更加抽象，相对偏重证明。而且，它的学时较少，基本上没有太多时间讲习题和复习，同学们的时间一定要抓紧。现在讲讲线性代数课程究竟讲些什么？作为工科的同学要重点学到什么？所谓线性，指的是变量的次数为一次，研究的计算为“加法”与“乘法”运算。工程上常常将非线性的问题归结到线性问题来考虑，说起来似乎很容易吧？实际上不很好学！我们学的内容，可以归结为“一个问题”和“两个工具”。一个问题是指解线性方程组的问题，两个工具指的是矩阵和向量。你可能会想：线性方程组我们学过，而且解它用得着讲一门课吗？大家一定要明白，首先我们的方程组不像中学所学仅含2到3个方程，它只要用消元法即可容易地求出，这里的研究的是所有方程组的规律，也就是所必须找到4个以上方程组成的方程组的解的规律，这样就比较难了，需要对方程组有个整体的认识，然后找到规律；再者，数学的宗旨是将看似不同的事物或问题将它们联系起来，抽象出它们在数学上的本质，然后用数学的工具来解决问题。实际上，向量、矩阵、线性方程组都是基本数学工具。三者之间有着密切的联系！它们可以互为工具，在今后的学习中，你们只要紧紧抓住三者之间的联系，学习就有了主线了。向量我们在中学学过一些，物理课也讲。中学学的是三维向量，在几何中用有向线段表示，代数上用三个数的有序数组表示。那么我们线性代数中的向量呢，是将中学所学的向量进行推广，由三维到n维（n是任意正整数），由三个数的有序数组推广到n维有序数组，中学的向量的性质尽可能推广到n维，这样，可以解决更多的问题；矩阵呢？就是一个方形的数表，有若干行、列构成，这样看起来，概念上很好理解啊。可是研究起来可不那么简单，我们以前的运算是两个数的运算，而现在的运算涉及的可是整个数表的运算！可以想象，整个数表的运算必然比两个数的运算难。但是我们不必太怕，先记住并掌握运算，运算再难，多练几遍必然就会了。关键是要理解概念与概念间的联系。对工科来说，证明的要求不高，但是，常规的证明方法还是要懂一点。再进一步说吧：中学解方程组，有一个原则，就是一个方程解一个未知量。对于线性代数的线性方程组，方程的个数不一定等于未知量的个数。比如4个方程5个未知量，这样就不可能有唯一的解，需要将一个未知量提出来作为“自由未知量”，也就是将之当做参数（可以任意取值的常数）；还有，即使是方程个数与未知量个数相同，也未必有唯一的解，因为有可能出现方程“多余”的情况。（比如第三个方程是前两个方程相加，那么第三个方程可以视为“多余”）总之，解方程可以先归纳出以下三大问题：第一，有无多余方程；第二，若有多余，如何去除多余方程，保留有用方程；第三，如何确定自由未知量。解决了这三大问题，方程组的解迎刃而解。我们结合矩阵、向量可以提出完全对应的问题。刚才讲了，三者联系紧密，比如一个方程将运算符号和等号除去，就是一个向量；方程组将等号和运算除去，就是一个矩阵！你们说它们是不是联系紧密？大家可不要小看这三问，我认为它们可以作为学习线代的提纲挈领。线性代数的特点，一是结构紧密，整个课程的知识点互相之间有着千丝万缕的联系，无论从哪一个角度切入，都可以牵一发而动全身，整个课程就是铁板一块。二是它解决问题的方法不再是像中学那样的重视技巧，以“点”为主，而是从代数的“结构”上，从宏观上把握解决问题的方案。线性代数提出了“向量空间”的概念，向量空间是由一个集合（这里研究数集），两个运算：加法和数乘，若干运算规律构成，可以这么说，矩阵和方程组在代数的本质上都可以作为广义的“向量”，这在最后一章会阐述，对于工科同学，仅需做些了解，但是从向量空间的概念上，可以窥见线性代数的高度结构化和逻辑严谨性。