65数学必修2人教A： 第4章 圆与方程

1§4.1圆的标准方程学习目标1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；2.会用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、课前准备（预习教材P124~P127，找出疑惑之处）1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、新课导学※学习探究新知：圆心为(,)Aab，半径为r的圆的方程222()()xaybr叫做圆的标准方程.0ab，则圆的方程就是222xyr新疆学案王新敞特殊：若圆心为坐标原点，这时探究：确定圆的标准方程的基本要素？※典型例题例写出圆心为(2,3)A，半径长为5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)MM是否在这个圆上.2小结：点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的关系的判断方法：⑴2200()()xayb2r，点在圆外；⑵2200()()xayb=2r，点在圆上；⑶2200()()xayb2r，点在圆内.变式:ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3)AB(2,8)C，求它的外接圆的方程反思：1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于,,abr的方程组，求,,abr或直接求出圆心(,)ab和半径r.2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为222()()xaybr；（2）根据已知条件，建立关于,,abr的方程组；（3）解方程组，求出,,abr的值，并代入所设的方程，得到圆的方程.例2已知圆C经过点(1,1)A和(2,2)B,且圆心在直线:10lxy上,求此圆的标准方程.※动手试试练1.已知圆经过点(5,1)P，圆心在点(8,3)C的圆的标准方程.3练2.求以(1,3)C为圆心，并且和直线3470xy相切的圆的方程新疆学案王新敞三、总结提升※学习小结一．方法规纳⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.二．圆的标准方程的两种求法：⑴根据题设条件，列出关于abr、、的方程组，解方程组得到abr、、得值，写出圆的标准方程.⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知(2,4),(4,0)AB，则以AB为直径的圆的方程（）.A．22(1)(2)52xyB．22(1)(2)52xyC．22(1)(2)52xyD．22(1)(2)52xy2.点2(,5)Pm与圆的2224xy的位置关系是（）.A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定3.圆心在直线2x上的圆C与y轴交于两点(0,4),(0,2)AB，则圆C的方程为（）.A．22(2)(3)5xyB．22(2)(3)25xyC．22(2)(3)5xyD．22(2)(3)25xy4.圆关于22(2)5xy关于原点(0,0)对称的圆的方程5.过点(2,4)A向圆224xy所引的切线方程.课后作业1.已知圆的圆心在直线20xy上，且与直线10xy切于点(2,1)，求圆的标准方程.42.已知圆2225xy新疆学案王新敞求：⑴过点(4,3)A的切线方程.⑵过点(5,2)B的切线方程新疆学案王新敞§4.1圆的一般方程学习目标1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程220xyDxEyF表示圆的条件；2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程；3．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力学习过程一、课前准备（预习教材P127~P130，找出疑惑之处）1．已知圆的圆心为),(baC，半径为r，则圆的标准方程，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是新疆学案王新敞2．求过三点(0,0),(1,1),(4,2)ABC的圆的方程.5二、新课导学※学习探究问题1．方程222410xyxy表示什么图形？方程222460xyxy表示什么图形？问题2．方程220xyDxEyF在什么条件下表示圆？新知：方程220xyDxEyF表示的轨迹.⑴当2240DEF时，表示以(,)22DE为圆心,22142DEF为半径的圆；⑵当2240DEF时，方程只有实数解2Dx，2Ey，即只表示一个点（-2D，-2E）;（3）当2240DEF时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形新疆学案王新敞小结：方程220xyDxEyF表示的曲线不一定是圆新疆学案王新敞只有当2240DEF时，它表示的曲线才是圆，形如220xyDxEyF的方程称为圆的一般方程新疆学案王新敞思考：1．圆的一般方程的特点？2．圆的标准方程与一般方程的区别？※典型例题例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.⑴224441290xyxy；⑵2244412110xyxy.例2已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上2214xy运动，求线段AB的中点M的6轨迹方程.※动手试试练1.求过三点(0,0),(1,1),(4,2)ABC的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.练2.已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)AxyBxy，试求此圆的方程.三、总结提升※学习小结1．方程220xyDxEyF中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握.3．使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于,,abr或7,,DEF的方程组；⑶解出,,abr或,,DEF，代入标准方程或一般方程.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若方程220xyxym表示一个圆，则有（）.A．2mB.2mC．12mD．12m2.圆22410xyx的圆心和半径分别为（）.A．(2,0),5B．(0,2),5C．(0,2),5D．(2,2),53.动圆222(42)24410xymxmymm的圆心轨迹是（）.A．210xyB．210xyC．210xyD．210xy4.过点(1,1),(1,3)CD，圆心在x轴上的圆的方程是.5.圆22450xyx的点到直线3420xy0的距离的最大值为.课后作业1.设直线2310xy和圆22230xyx相交于,AB，求弦AB的垂直平分线方程.2.求经过点(2,4)A且与直线:3260lxy相切于点(8,6)B的圆的方程.§4.2直线、圆的位置关系学习目标1．理解直线与圆的几种位置关系；82．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．学习过程一、课前准备（预习教材P133~P136，找出疑惑之处）1．把圆的标准方程222()()xaybr整理为圆的一般方程.把22220(40)xyDxEyFDEF整理为圆的标准方程为.2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？二、新课导学※学习探究新知1：设直线的方程为:0laxbyc，圆的方程为22:0CxyDxEyF，圆的半径为r，圆心(,)22DE到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：⑴当rd时，直线l与圆C相离；⑵当rd时，直线l与圆C相切；⑶当rd时，直线l与圆C相交；新知2：如果直线的方程为ykxm，圆的方程为222()()xaybr，将直线方程代入圆的方程，消去y得到x的一元二次方程式20PxQxR，那么：⑴当0时，直线与圆没有公共点；⑵当0时，直线与圆有且只有一个公共点；⑶当0时，直线与圆有两个不同的公共点；※典型例题9例1用两种方法来判断直线3460xy与圆22(2)(3)4xy的位置关系.例2如图2,已知直线l过点5,5M且和圆22:25Cxy相交,截得弦长为45,求l的方程变式：求直线50xy截圆22446xyxy0所得的弦长.※动手试试练1.直线yx与圆2221xyr相切,求r的值.10练2.求圆心在直线23xy上,且与两坐标轴相切的圆的方程.三、总结提升※学习小结判断直线与圆的位置关系有两种方法①判断直线与圆的方程组是否有解a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交b无解,则直线与圆相离②如果直线的方程为0AxByC，圆的方程为222()()xaybr，则圆心到直线的距离22AaBbCdAB.⑴如果dr直线与圆相交;⑵如果dr直线与圆相切;⑶如果dr直线与圆相离.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.直线3460xy与圆22(2)(3)4xyA．相切B．相离C．过圆心D．相交不过圆心2.若直线0xym与圆22xym相切，则m的值为（）.A．0或2B．2C．2D．无解3已知直线l过点(2,0)，当直线l与圆222xyx有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）.A．(22,22)B．(2,2)C．22(,)44D．11(,)884.过点(2,2)M的圆228xy的切线方程为.5.圆2216xy上的点到直线30xy的距离的最大值为.课后作业1.圆222430xyxy上到直线:1lxy0的距离为2的点的坐标.112.若直线430xya与圆22100xy.⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数a的取值范围.§4.2圆与圆的位置关系学习目标1．理解圆与圆的位置的种类；2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；3．会用连心线长判断两圆的位置关系．学习过程一、课前准备（预习教材P136~P137，找出疑惑之处）1．直线与圆的位置关系，，.2．直线50xy截圆22460xyy所得的弦长.3．圆与圆的位置关系有几种，哪几种？124.设圆两圆的圆心距设为d.当dRr时，两圆当dRr时，两圆当||RrdRr时，两圆当||dRr时，两圆当||dRr时，两圆二、新课导学※学习探究探究：新疆学案王新敞如何根据圆的方程，判断两圆的位置关系？新课：两圆的位置关系利用圆的方程来判断.通常是通过解方程或不等式和方法加以解决※典型例题例1已知圆221:2880Cxyxy，圆22:Cx24420yxy，试判断圆1C与圆2C的关系？变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？例2圆1C的方程