2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第27讲不等式

第六章不等式•2012高考调研•考纲要求•1．理解不等式的性质及其证明．•2．掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．•3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．•4．掌握简单不等式的解法．•5．理解不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.•考情分析•1．高考近几年加大了知识交汇点处命题的力度，单独解不等式或证明不等式的题目明显减少，不等式试题更多的是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和渗透，而且充分体现出不等式的知识网络所具有的极强的辐射作用．•2．以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考查学生阅读理解以及分析、解决问题的能力．•3．证明不等式常以函数为背景考查，在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点处命题，特别要注意与函数、导数综合命题这一变化趋势．第二十七讲不等式的概念和性质回归课本1.不等式的定义用不等号“＞，≥，＜，≤，≠”将两个数学表达式连接起来所得到的式子叫做不等式．2．两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.另外，若b＞0，则有ab＞1⇔a＞b；ab＝1⇔a＝b；ab＜1⇔a＜b.•3．不等式的性质•现行教材中介绍的不等式的11条性质可以分为两部分．•第一部分为以下4条性质定理：•(1)对称性：a＞b⇔b＜a；•(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；•(3)不等式加等量：a＞b⇔a＋c＞b＋c；•(4)不等量乘正量：a＞b，c＞0⇒ac＞bc.•第二部分为两个不等式的运算性质，共有7条：•(5)同向不等式相加：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；•(6)异向不等式相减：a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d；•(7)同向不等式相乘：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(8)不等式取倒数：a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；(9)异向不等式相除：a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd；(10)不等式的乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N*且n＞1)；(11)不等式的开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N*且n＞1)．•考点陪练•1.设a、b∈R，若a－|b|0，则下列不等式中正确的是()•A．b－a0B.a3＋b30•C．a2－b20D.b＋a0•解析：∵a－|b|0，∴a|b|0.•∴不论b正或b负均有a＋b0.•答案：D•2．“a＋b＞2c”的一个充分非必要条件是()•A．a＞c或b＞cB.a＞c且b＜c•C．a＞c且b＞cD.a＞c或b＜c•解析：由不等式的基本性质知，•ac且bc⇒a＋b＞2c，•∴C项是a＋b＞2c的充分非必要条件．•答案：C•答案：C3．(2010·名校模拟)若a、b、c∈R，ab，则下列不等式成立的是()A.1a1bB.a2b2C.ac2＋1bc2＋1D.a|c|b|c|解析：由a，b，c∈R，ab，A中若取a＝2，b＝－1，则1a1b不成立，所以A错．B中若取a＝－1，b＝－2，有ab而a2b2不成立．所以B错．C中ac2＋1bc2＋1正确．D中当c＝0时，a|c|b|c|不成立．综上所述C正确，故选C.•点评：本题考查不等式的性质，对于不正确的选项只要举出一个反例即可，不等式的基础题中对于特殊数值“0”的运算性质考查得较多，因而举反例时一定要注意这一方面．•解析：当a＞b，a＋c与b＋c为负数时，由0＞(a＋c)＞(b＋c)得0＜－(a＋c)＜－(b＋c)，•∴[－(a＋c)]4＜[－(b＋4)]4，(a＋c)4＜(b＋c)4，•∴A不恒成立．当c＝0时，ac2＝bc2，∴B不恒成立．•由a＞b得a＋c＞b＋c，但若a＋c，b＋c均为负数时，|a＋c|＜|b＋c|，即lg|b＋c|＞lg|a＋c|，故C不恒成立．排除A，B，C，故选D.•答案：D4．已知a，b，c是任意实数，且ab，则下列各式恒成立的为()A．(a＋c)4(b＋c)4B.ac2bc2C．lg|b＋c|lg|a＋c|D.(b＋c)13(a＋c)13•5．已知m＝20102－2009，n＝20092－2009×2010＋20102，则m______n.•解析：设2009＝a，则m＝(a＋1)2－a＝a2＋a＋1，n＝a2－a(a＋1)＋(a＋1)2＝a2＋a＋1，所以m＝n.•答案：＝•点评：换元法是一种重要的思想方法，只要能够用上则问题变得很简单．类型一实数大小的比较解题准备：作差比较两数(式)大小的依据是：ab⇔a－b0；ab⇔a－b0；a＝b⇔a－b＝0.作商比较两数(式)大小的依据是：a、b0，ab1⇒ab；a、b0，ab1⇒ab.•[分析]比较两个数的大小通常是作差，利用对数性质，将真数变换为两数之比，再与1进行比较，本题因底数a情况不明，需分类讨论．【典例1】设a0，且a≠1，比较12logat与logat＋12的大小[解析]∵logat＋12－12logat＝logat＋12t.又t0，由不等式性质知t＋1≥2t，∴t＋12t≥1.①当0a1时，logat＋12t≤loga1＝0，∴logat＋12≤12logat.②当a1时，logat＋12t≥loga1＝0，∴logat＋12≥12logat.•[点评]同底数的对数值大小比较：如果底数a的情况不确定，通常分为a1和0a1两类问题解决．•探究1：设a0，b0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．解析：aabbabba＝aa－bbb－a＝aba－b.当ab0时，ab1，a－b0，则aba－b1，于是aabbabba.当ba0时，0ab1，a－b0，则aba－b1，于是aabbabba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabbabba.•点评：比较两个数(式)的大小时，常用作差法和作商法．若欲比较的式子是多项式或分式时常用作差法；若欲比较的式子是乘积形式或幂指数的形式常用作商法．•类型二有关不等式性质的应用•解题准备：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．【典例2】(1)对于实数a，b，c，判断下列命题的真假：①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若c＞a＞b＞0，则ac－a＞bc－b；④若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0.[解析]本题考查实数集的基本性质、实数运算及不等式的基本性质．①令c＝0，则有ac＝bc，故该命题是假命题．②由ac2＞bc2知c≠0∵c2＞0，故该命题为真命题．③a＞b＞0⇒－a＜－bc＞a＞b＞0⇒0＜c－a＜c－b⇒1c－a＞1c－b＞0⇒ac－a＞bc－b故该命题为真命题．④a＞b⇒a－b＞01a1b⇒b－aab0，∴ab0，又∵ab，∴a0，b0，∴该命题为真命题．•(2)实数a，b，c，d满足下列三个条件：•①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.•请将a，b，c，d按照从大到小的次序排列，并证明你的结论．[解析]a＋d＜b＋c⇒d－b＜c－aa＋b＝c＋d⇒c－a＝b－d⇒d－b＜b－da－c＜c－a⇒d＜ba＜cd＜ba＜cd＞c⇒b＞d＞c＞a.•类型三求数(式)的取值范围•解题准备：对同向不等式可加性推论：ab，cd⇒a＋cb＋d，前后关系不是充要条件关系的理解一定要到位，否则易出现错误．•【典例3】已知－1＜a＋b＜3且2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范围．[解析]设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴x＋y＝2x－y＝3，解得x＝52y＝－12，∴2a＋3b＝52(a＋b)－12(a－b)．∵－52＜52(a＋b)＜152，－2＜－12(a－b)＜－1，∴－92＜52(a＋b)－12(a－b)＜132，即－92＜2a＋3b＜132.[点评]本题的通常解法是：只需将2a＋3b用已知量a＋b，a－b表示出来．可设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，用待定系数法求出x，y，进而确定2a＋3b的取值范围．解此题常见错误是：－1＜a＋b＜3，①2＜a－b＜4，②①＋②得1＜2a＜7.③由②得－4＜b－a＜－2.④①＋④得－5＜2b＜1，∴－152＜3b＜32.⑤③＋⑤得－132＜2a＋3b＜172.•错误的原因在于多次运用同向不等式相加这一性质，最后将a与b看成了彼此独立的变量，实际上a与b是有内在联系的，如此一来，扩大了各自的取值范围，因此在解题中使用不等式的性质时，要注意检查得出的是不是原问题的充要条件，以免产生错解．事实上，我们如果从线性规划的角度来解释，就不难看出a，b之间的联系了．－1＜a＋b＜32＜a－b＜4，可作出满足条件的(a，b)所在的可行域如图中阴影部分所示，根据图形，若单从a，b的取值范围来讲，1＜2a＜7和－5＜2b＜1是正确的，但我们也可以从图形中看出，在a接近于12时，b并不是接近于－52，也就是a，b不是同时取到(或接近)最大值或最小值的，这是因为它们受到可行域的制约，而错解将可行域看作是由a＝12，a＝72，b＝－52，b＝12组成的矩形的内部，显然将范围扩大了．•探究2：已知函数f(x)＝ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．解析：解法一：由a－c＝f14a－c＝f2，求得a＝13[f2－f1]－c＝43f1－13f2∴f(3)＝9a－c＝－53f(1)＋83f(2)．又53≤－53f(1)≤203，－83≤83f(2)≤403，∴－1≤－53f(1)＋83f(2)≤20，即－1≤f(3)≤20.解法二：∵f(1)＝a－c，f(2)＝4a－c，∴－4≤a－c≤－1①－1≤4a－c≤5②设f(3)＝λ(a－c)＋μ(4a－c)，其中λ、μ是待定系数．由9a－c＝(λ＋4μ)a－(λ＋μ)c，可得λ＋4μ＝9λ＋μ＝1解得λ＝－53μ＝83，由②×83＋－①×53，得－1≤9a－c≤20，即－1≤f(3)≤20.•函数、方程与不等式之间互相渗透，对于多个参变量的函数值求范围时，可以运用方程的思想，采用整体换元，通过列方程或待定系数法转换．该题还可同线性规划相结合来解，下章我们再学习．•快速解题•技法已知0x1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|(a0且a≠1)的大小．快解：|loga1－xloga1＋x|＝|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)11－x.∵由0x1易得1－x21且1－x0，∴1＋x11－x，则log(1＋x)11－xlog(1＋x)(1＋x)＝1.∴|loga(1－x)||loga(1＋x)|.