2018.1.2求导数练习

第1页，共5页求导数练习一、填空题（本大题共15小题，共75.0分）1.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥sin𝑥，则𝑓′(0)=______．2.设函数𝑓(𝑥)=(1−2𝑥)10，则𝑓′(1)=______．3.函数𝑦=𝑥2cos𝑥的导数为______．4.已知𝑓(𝑥)=2𝑥2(ln2−1)𝑥，则𝑓′(1)=______．5.已知𝑓(𝑥)=𝑥3−2𝑓′(1)𝑥，则𝑓′(1)=______．6.若𝑓(𝑥)=𝑒−𝑥(cos𝑥+sin𝑥)，则𝑓′(𝑥)=______．7.若函数𝑓(𝑥)=√4𝑥−3，则𝑓(𝑥)的导函数𝑓′(𝑥)=______．8.已知函数𝑓(𝑥)=sin𝑥sin𝑥+cos𝑥，则𝑓′(𝜋2)=______．9.函数𝑌=sin𝑥−cos𝑥2cos𝑥在点𝑥0=𝜋3处的导数等于______．10.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥，若𝑓′(𝑥)=2，则𝑥=______．11.设函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑓′(1)𝑥−𝑓(1)，则𝑓(4)=______．12.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑓(0)𝑥+12𝑥2，则13.已知函数𝑦=sin𝑥𝑥+√𝑥+2，则𝑦′=______．14.如图，曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑃(5，𝑓(5))处的切线方程是𝑦=−𝑥+8，则𝑓(5)+𝑓(5)=15.如图，直线l是曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(4，𝑓(4))处的切线，则的值等于______．第2页，共5页答案和解析【答案】1.12.203.2𝑥cos𝑥−𝑥2sin𝑥4.15.16.−2𝑒−𝑥sin𝑥7.2√4𝑥−34𝑥−38.19.210.e11.512.e13.𝑥cos𝑥−sin𝑥𝑥2+12√𝑥14.215.112【解析】1.解：根据题意，函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥sin𝑥，其导数𝑓′(𝑥)=(𝑒𝑥)′sin𝑥+𝑒𝑥(sin𝑥)′=𝑒𝑥sin𝑥+𝑒𝑥cos𝑥，则𝑓′(0)=𝑒0sin0+𝑒0cos0=1；故答案为：1．根据题意，由函数的解析式求导可得𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥sin𝑥+𝑒𝑥cos𝑥，将𝑥=0代入可得𝑓′(0)即可得答案．本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式．2.解：函数的导数𝑓′(𝑥)=10(1−2𝑥)9(1−2𝑥)′=−20(1−2𝑥)9则𝑓′(1)═−20(−1)9=20，故答案为：20．根据函数的导数公式进行计算即可．本题主要考查函数的导数的计算，根据复合函数的导数公式是解决本题的关键.比较基础．3.解：𝑦=(𝑥2)′cos𝑥+𝑥2(cos𝑥)′=2𝑥cos𝑥−𝑥2sin𝑥，故答案为：2𝑥cos𝑥−𝑥2sin𝑥根据导数的运算法则计算即可本题考查了导数的运算法则，和常见函数的导数，属于基础题4.解：𝑓′(𝑥)=𝑥⋅2𝑥ln2−2𝑥2(ln2−1)𝑥2，∴𝑓′(1)=2ln2−22(ln2−1)=1，故答案为：1先求导，再代值计算即可．本题考查了导数的运算法则，考查计算能力．5.解：∵𝑓(𝑥)=𝑥3−2𝑓′(1)𝑥，∴𝑓′(𝑥)=3𝑥2−2𝑓′(1)，第3页，共5页∴𝑓′(1)=3−2𝑓′(1)，∴𝑓′(1)=1，故答案为：1．先求导，再代值计算即可本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题6.解：根据题意，𝑓(𝑥)=𝑒−𝑥(cos𝑥+sin𝑥)=cos𝑥+sin𝑥𝑒𝑥，𝑓′(𝑥)=(cos𝑥+sin𝑥)𝑒𝑥−(cos𝑥+sin𝑥)⋅(𝑒𝑥)𝑒2𝑥=−2sin𝑥𝑒𝑥=−2𝑒−𝑥sinx，答案：−2𝑒−𝑥sinx根据题意，将𝑓(𝑥)的解析式变形可得𝑓(𝑥)=cos𝑥+sin𝑥𝑒𝑥，利用商的导数计算法则计算可得答案．本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式以及法则．7.解：𝑓(𝑥)=√4𝑥−3=(4𝑥−3) 12，∴𝑓′(𝑥)=12(4𝑥−3) −12⋅(4𝑥−3)′=2√4𝑥−34𝑥−3，故答案为：2√4𝑥−34𝑥−3根据导数的运算法则和复合函数的求导法则求导即可．本题考查了导数的运算法则和复合函数的求导法则，属于基础题．8.解：根据题意，函数𝑓(𝑥)=sin𝑥sin𝑥+cos𝑥，其导数𝑓′(𝑥)=(sin𝑥)(sin𝑥+cos𝑥)−sin𝑥(sin𝑥+cos𝑥)(sin𝑥+cos𝑥)2=11+2sin𝑥cos𝑥，𝑓′(𝜋2)=11=1；故答案为：1．根据题意，对函数𝑓(𝑥)求导可得𝑓′(𝑥)=11+2sin𝑥cos𝑥，将𝑥=𝜋2代入计算可得答案．本题考查导数的计算，关键是正确求出函数𝑓(𝑥)的导数．9.解：函数𝑌=sin𝑥−cos𝑥2cos𝑥sin𝑥2cos𝑥−12∴𝑌′=cos𝑥cos𝑥+sinsin𝑥2cos2𝑥=12cos2𝑥，∴点𝑥0=𝜋3处的导数为12cos2𝜋3=2，故答案为：2．先根据导数的运算法则求导，再代值计算即可本题考查了导数的运算法则和导数值得求法，属于基础题．10.解：𝑓′(𝑥)=1+ln𝑥，∵𝑓′(𝑥)=2，∴1+ln𝑥=2，即ln𝑥=1=ln𝑒，∴𝑥=𝑒，故答案为：e．第4页，共5页先求导，再代值得到ln𝑥=1，解得即可．本题主要考查导数的计算以及对数方程，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．11.解：∵𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑓′(1)𝑥−𝑓(1)，∴𝑓′(𝑥)=2𝑥+3𝑓′(1)，令𝑥=1，则𝑓′(1)=2+3𝑓′(1)，即𝑓′(1)=−1，则𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥−𝑓(1)，令𝑥=1，则𝑓(1)=1−3−𝑓(1)，则𝑓(1)=−1，即𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥+1，则𝑓(4)=42−3×4+1=16−12+1=5，故答案为：5．求函数的导数，先求出𝑓′(1)，𝑓(1)的值，求出函数的解析式，即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，根据导数的公式求出𝑓(1)，𝑓′(1)的值以及函数的解析式是解决本题的关键．12.解：∵𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑓(0)𝑥+12𝑥2，∴𝑓(0)=𝑒0=1，函数的导数𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−1+𝑥，则𝑓′(1)=𝑒−1+1=𝑒，故答案为：e．先求出𝑓(0)的值，然后求函数的导数，令𝑥=1即可得到结论．本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键．13.解：∵𝑦=sin𝑥𝑥+√𝑥+2，∴𝑦′=𝑥cos𝑥−sin𝑥𝑥2+12⋅𝑥−12=𝑥cos𝑥−sin𝑥𝑥2+12√𝑥，故答案为：𝑥cos𝑥−sin𝑥𝑥2+12√𝑥．直接利用基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求解．本题考查导数的运算，考查了基本初等函数的求导公式，考查了导数的运算法则，是基础题．14.解：由于曲线𝑓(𝑥)在点𝑃(5，𝑓(5))处的切线方程是𝑦=−𝑥+8，则𝑓(5)=−5+8=3，𝑓′(5)=−1．故𝑓(5)+𝑓′(5)=3−1=2．故答案为：2．根据题意，由图象和切线方程可得：𝑓(5)=−5+8=3，𝑓′(5)=−1.即可得到结果．本题考查导数的计算，关键是理解导数的几何意义．15.解：根据题意，由函数的图象可得𝑓(4)=5，直线l过点(0，3)和(4，5)，则直线l的斜率𝑘=5−34−0=12又由直线l是曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(4，𝑓(4))处的切线，则𝑓′(4)=12，则有；故答案为：112．根据题意，结合函数的图象可得𝑓(4)=5，以及直线l过点(0，3)和(4，5)，由直线的第5页，共5页斜率公式可得直线l的斜率k，进而由导数的几何意义可得𝑓′(4)的值，将求得的𝑓(4)与𝑓′(4)的值相加即可得答案．本题考查导数的几何意义，关键是理解导数的集合意义并计算出直线l的斜率．