D5-1-4 复合函数求导 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

第四节复合函数的求导法则一元复合函数求导法则微分法则一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数),(vufz处偏导连续,在点t可导,tvvztuuztzddddddz则复合函数且有链式法则vutt分段用乘分叉用加单路全导叉路偏导若定理中说明:例如:),(vufztvtu,易知:但复合函数),(ttfz21ddtztvvztuuzdddd01010偏导数连续减弱为偏导数存在,2t0,22222vuvuvu,0022vu机动目录上页下页返回结束则定理结论不一定成立.推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,,),,(wvufz设下面所涉及的函数都可微.tzdd321fff2)中间变量是多元函数的情形.例如,),(,),(,),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz机动目录上页下页返回结束)(,)(,)(twtvtu又如,),(,),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时,有xz121ffyz22ffzxyx注意:这里xzxfxz表示固定y对x求导,xf表示固定v对x求导xf与不同,v例1.设,,,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解:xzveusinyzveusinxvvzveucosyvvzveucos11zvuyxyx例2.,sin,),,(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yxcos2例3.设,sintvuz.ddtzztvutttdzdtevtttetcos)sin(costduduztz求全导数,teu,costv解:tcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见,引入记号,,2121vuffuff例4.设f具有二阶连续偏导数,求.,2zxwxw解:令,,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufwzyf2),(2zyxzyxfzy则zxw222221211)(fyfzyxfzxyfyxf12yxf2221,,ff内容小结1.复合函数求导的链式法则例如,uvyxyx;12分段用乘分叉用加单路全导叉路偏导作业