D5-2 二重积分 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

第五部分多元函数微积分D5-2.多元函数积分学：二重积分画图像求交点定区间算微元还记得平面图形的面积怎么求么？先找一条线后扫一个面分步特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.),(yxfzD1、曲顶柱体的体积一、二重积分的概念柱体体积=底面积╳高D5-2二重积分2播放“分割、近似、求和、取极限”3步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，xzyoD),(yxfzi),(ii先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV曲顶柱体的体积分割求和，iiniifV),(1极限4baDdxxgyxfV)(.d),(V几何意义),(yxfz)()(21),()(xxdyyxfxg底面：D)()(21),()(xxdyyxfxgbadxxgV)(dx：切片厚度g(x)dx：体积微元g(x)切片面积)()(21),()(xxdyyxfxgdy：长度微元f(x,y)dy：面积微元内层积分1.面包片面积；2.面包片体积；3.面包体积定积分（内层）体积微元定积分（外层）计算顺序2、二重积分的定义9设二元函数),(yxfz是有界闭区域D上的有界函数,若将D任意分割成n个小闭区域n,,,21,并用同样的记号记它们的面积,任取iii),(,作和存在,则称函数),(yxf在D上可积,该极限称为),(yxf在D上的二重积分,记作niiiif1),(,记}{max1的直径ini,若极限niiiif10),(lim.d),(Dyxf积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素iiniiDfyxf),(limd),(10即10在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，DDyxyxfyxfdd),(d),(yxddd故二重积分可写为xyoD则面积元素为当),(yxf在闭区域上连续或分片连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.113、二重积分的性质12下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D的面积.性质2线性性质DDDyxgyxfyxgyxfd),(d),(d)],(),([DDyxfkyxkfd),(d),((k为常数).若在D上1),(yxf,则由定义可知,ADd1，这里A为D的面积.性质1若0),(yxf,Dyx),(,则d|),(||d),(|DDyxfyxf性质4.0d),(Dyxf设21DDD,且21,DD无公共内点，则有性质3区域可加性.d),(d),(d),(21DDDyxfyxfyxf若),(),(yxgyxf,Dyx),(,则DDyxgyxfd),(d),(推论1推论21324将yxyxfdd),(D化为二次积分,其中D由直线4,2,2,yyxyxy围成。解法1先画出积分区域D，将D向y轴投影，先x后y,yxyxfDdd),(.d),(2xyxfyy42dy例1xy2xyxyoDyx2yx14直角坐标系下二重积分的计算当0),(yxf时，Ddyxf),(的值等于以D为底，以曲面),(yxfz为顶的曲顶柱体的体积。而平行截面面积为已知的立体的体积又可以用定积分来计算。这就启示我们可以用二重积分的几何意义来寻求二重积分的计算方法。画图像求交点定区间算微元先找一条线后扫一个面分步如图所示的积分区域称为X型区域。oxyab)(2xy)(1xyDoxyab)(2xy)(1xyD1．积分区域D为X型区域设D：)()(21xyxbxa①其中],[)(1baCx，],[)(2baCx。先难后易下面用切片法来计算二重积分Ddyxf),(所表示的柱体的体积。)()(21),()(xxdyyxfxA。)(xAxxxoxyDz)(2xy)(1xy),(yxfzab)(1x)(2x)(xA),(yxfzxyz)()(),()(xxdyyxfxA21.一般地，平面的平面且平行于上任一点过yozxba],[，与曲顶柱体相交所得截面的面积为从而得曲顶柱体的体积dxdyyxfdxxAVxxbaba]),()()()(21[，于是，二重积分dxdyyxfdyxfxxbaD]),(),()()(21[②公式②常记作)()(),(),(xxbaDdyyxfdxdyxf21。③这是把二重积分化为先对y后对x的二次积分的公式。用公式③时，必须是X型区域。X型区域的特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点。oxyab)(2xy)(1xyDx)()(),(),(xxbaDdyyxfdxdyxf21。③dxdy)(1yx)(2yxoxyDcd)(1yx)(2yxoxyDcd如图所示的积分区域称为Y型区域。设D：)()(21yxydyc④其中],[)(1dcCy、],[)(2dcCy。2．积分区域D为Y型区域用公式⑤时，必须是Y型区域。Y型区域的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点。类似可得，二重积分)()(21),(),(yydcDdxyxfdydyxf⑤上式右端的积分称为先对x后对y的二次积分公式。)(1yx)(2yxoxyDcd当平行于坐标轴的直线与D的边界曲线的交点多于两点时，一般可把D分成几个子区域，分别按X型或Y型区域计算，然后再根据区域可加性得到在整个区域D上的二重积分。例如在图中，把D分成三部分，它们都是X型区域。D1D2D3oxy3.积分区域既不是X型区域也不是Y型区域D是X型的，可表示为D：)()(21xyxbxa；D又是Y型的，可表示为D：)()(21yxydyc，则有4．积分区域D既是X型区域又是Y型区域。.),(),(),()()()()(yydcxxbaDdxyxfdydyyxfdxdyxf2121oxyabcdD二重积分化为二次积分，确定积分限是关键。其定限方法如下：（1）在xoy平面上画出积分区域D的图形；（2）若区域D为X型的，则把D投影到x轴上，得投影区间],[ba，a和b就是对x积分的下限和上限。],[bax，过点x画一条与y轴平行的直线，假如它与边界曲线交点的纵坐标分别为)(1xy和)(2xy，且)()(12xx，则)()(21xx和就是对y积分的下限和上限。先找一条线后扫一个面定限原则：（1）上限一定要大于下限，（2）最外层的限不允许有积分变量。)()(),(),(xxbaDdyyxfxdyxf21doxy)(2xy)(1xyDaxb先难后易解法1：D是X型的。例1．计算Dxyd，其中D是由直线1y，2x及xy所围成的闭区域。12oxyxy1y)2,2()1,2()1,1(x2121211]2[dxyxxydydxxydxxD.89]48[]22[2242131xxdxxx解法2：D是Y型的。2122221]2[dyxyxydxdyxydyyD.89]8[]2[22422131yydyyy21oxyyx2x注：①化二重积分为二次积分时，积分限的确定顺序与积分顺序相反。②在计算内积分时，外积分变量是常数。y解法1：先积x后积y，D：2,212yxyy，例2．计算Dxyd，其中D由xy2和2xy所围成。oxy2yx)1,1()2,4(2yx2212yyDxydxdyxyddyyyy])2([212152dyyxyy22122]21[.845]62344[21262341yyyy12yoxy2xy)1,1()2,4(xyxy1D：10xxyx，2D：412xxyx。.8552411021xxxxDDDxydydxxydydxxydxydxyd4D1D21解法2：先积y后积x，2121DDDDD且，因为2ye的原函数不是初等函数，则无法计算积分的值，故只能用先积x后积y的次序进行计算。yoxxy1yy1解：若先积y后积x，得11022xyDydyedxde，例3．Dyde2，其中D是由直线xy，1y和y轴所围成。10010222dyyedxedydeyyyDy).1(21211102eey积分次序的选择原则：（1）第一原则—函数原则：必须保证各层积分的原函数能够求出。（2）第二原则—区域原则：若积分区域是X型（或Y型）则先对积分或)(xy。（3）第三原则—分块原则：若积分区域既是X型又是Y型且满足第一原则时，要使积分分块最少。求Dyxyxdd)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解Dyxyxdd)(21022d)(dxxyyxxxxxxxxd)](21)([42102.14033习题先求两曲线的交点)1,1()0,0(2xyxyoxy211先对y积分，32求Dyyxxdde22,其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.yyde2无法用初等函数表示,解积分次序应先x后y,Dyyxxdde22yyxxy0210dde2yyyde3110322102de612yyy.)e21(61习题xyo1133所围成的闭区域。及是由抛物线其中计算2,d2xyxyDxyD解2212dddyyDxxyyxy.845习题先x后y,yyyyd])2([212152)1,1(xy2xyo2xy)2,4(两曲线的交点)1,1()2,4(34所围成的闭区域。及是由抛物线其中计算2,d2xyxyDxyD解习题)1,1(xy2xyo2xy)2,4(两曲线的交点)1,1()2,4(Dxyd选择积分次序的原则：若选择先y后x,xxyxyxdd10,dd241xxyxyx(1)积分容易；(2)尽量少分块或不分块.麻烦。35计算Dxd，其中D是以)1,2(),2,1(),0,0(为顶点的三角形区域。解Dxdxxyxx22110dd21102d)233(d23xxxxx.23272921xxyxx32121dd习题xyo)2,1()1,2(xy21xy2xy336作业作业课程小结函数、极限和连续一元函数微积分•微分学（导数，微分，单调性，极值...）•积分学（定积分，不定积分）向量代数与空间解析几何•向量的概念，表示方法，数量积，矢量积•直线方程，平面方程，线面关系多元函数微积分•微分学•积分学（二重积分）画方框看去向凑结构出结果找对象凑微分求导数算零点定区间看正负看谁脑袋大分层剥洋葱Reviewsε-δ：挖坑选点起跳进坑上下限不回带画图像求交点定区间算微元先找一条线后扫一个面看谁说的算反对幂指三分叉要加分段要乘单路全导岔路偏导冷静观察想套路背口诀求导数算零点ABC看正负青山不老绿水长流（1）理解函数的概念。会求函数的表达式，定义域；会求分段函数的定义域及函数值，会做出简单的分段函数的图像；（2）理解函数的单调性，奇偶性，有界性和周期性；（3）掌握函数的四则运算与复合运算；（