化归思想在三角中的应用

化归思想在三角中的应用高考试题中的三角函数题主要考查特殊角的三角函数值、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式及三角函数的图象与性质等基础知识，考查考生的运算求解能力及运用数学知识解决实际问题的能力，考查函数与方程思想、化归与转化的思想.近几年，三角函数试题相对比较传统，难度均为中低档，位置靠前，重点突出.因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.数学中的化归法，是把待解决的数学问题转化归结为一类已经解决或比较容易解决的数学问题，最终使原问题获解.化归思想是解决数学问题的一种重要的思想方法.化归思想解题的过程就是把复杂的、生疏的、抽象的、困难的、未知的问题转化为简单的、熟悉的、具体的、容易的、已知的问题来解决，所以解决数学问题处处离不开化归.因此，它是数学中最典型、最基本和最富有数学特色的方法之一.本文就解三角函数有关问题时，常常需要把所给定的三角式化归为“一角一名一函数”的形式，对三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求值和最值等问题进行浅析.例题某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）而变化，近似满足函数关系：f（t）=10-3cosπ12t-sinπ12t，t∈[0，24）.（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解题思路（Ⅰ）先通过三角恒等变换将已知的关系式化为“一角一名一函数）的形式，然后求出f（t）的最值，即得最大温差；（Ⅱ）在t∈[0，24）内解三解不等式f（t）=10-2sin（π12t+π3）11，即可得解.解（Ⅰ）f（t）=10-3cosπ12t-sinπ12t=10-2（32cosπ12t+12sinπ12t）=10-2sin（π12t+π3）.又0≤t24，所以π3≤π12t+π37π3，即-1≤sin（π12t+π3）≤1.当t=2时，sin（π12t+π3）=1；当t=14时，sin（π12t+π3）=-1.于是f（t）在[0，24）上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.（Ⅱ）依题意，当f（t）11时实验室需要降温.由（Ⅰ）得f（t）=10-2sin（π12t+π3）11，即sin（π12t+π3）-12，又0≤t24，因此7π6π12t+π311π6，得10t18.在10时至18时实验室需要降温.解决此类问题必须掌握以下两点：一是灵活运用三角函数公式，在化简三角函数式时，诱导公式及二倍角公式等是必须掌握的基础知识，运用化归的思想把三角函数式转化为“一角一名一函数”的形式，同时要注意在化简过程中函数值符合的变化情况；二是理解三角函数的性质，要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质.求解这类问题首先要求函数解析式，并将其化简、变形为“一角一名一函数”的形式.对于y=Asin（ωx+φ）+b（A0，ω0）的单调性的求解，其基本方法是将ωx+φ看作一个整体代入正弦函数的增区间（或减区间），解出x，求出的x的区间即为y=Asin（ωx+φ）+b的增区间（或减区间）.但是当A0，ω0时，需要先用诱导公式变为y=-Asin（-ωx-φ）+b，则y=Asin（-ωx-φ）+b的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.三角函数的图象与解析式规律方法：（1）已知函数y=Asin（ωx+φ）+b（A0，ω0）的图象来求解析式时，常采用待定系数法，由图中最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ.（2）函数求周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期；最高点（或最低点）的横坐标与相邻零点差的绝对值为14个周期.解题者必须具有化归思维的意识，利用已知条件，将问题进行一连串的转化，化归为熟知的y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再利用y=sinx的相关知识进行解决.解决数学问题就其过程而言就是不断转化问题：使不熟悉向熟悉、使抽象向具体、使综合向基本、使不规范向规范、使未知向已知转化.化归思想是分析问题和解决问题的一个极其重要的思想，因为化归思想，数学才有理由建立尽可能少的规范化形式解决无穷的数学问题，才善于处理较复杂的数学问题，只有处理若干典型的简单的方面，而让其他方面都化归为已处理好的情况，才能大大加速数学问题的解决.以往的数学教学往往着眼于具体的定义、法则、性质、公式、公理、定理，而忽视其中所反映出来的数学思想和方法，就没有揭示知识的精神实质，没有让学生掌握精髓，因此不利于提高学生的素质.化归是解决数学问题的精髓，灵活、合理的化归可以出方法，出速度，提高解题者分析问题、解决问题的能力.