相似三角形的判定和性质

相似三角形的判定和性质知识讲解1.比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即acbd（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项．如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项．比例的性质（1）基本性质①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：banfdbmecanfdbnmfedcba)0(黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（ACBC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0．618ABcbbaacb2dbcadcbaacbdabcdcdabdcbaddcbbadcba215如图，若ABPBPA2，则点P为线段AB的黄金分割点．2.平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3．ABBC=DEEF;ABAC=DEDF;BCAC=EFDF.②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．4.相似三角形的概念：对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．5.相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边的比相等；（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．6.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似．7.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定‘SSS’‘SAS’‘AAS（ASA）’HL相似三角形的判定三边对应成比例两边对应成比例夹角相等两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例BAP从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法．8.相似三角形的判定方法（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似．④判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．⑤判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理（HL）：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似①垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．9.相似三角形中的基本图形：（1）平行型：（2）交错型：（3）旋转型：（4）子母型：（5）其他：10.双垂直条件下的计算与证明问题：“双垂直”指：“Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D”（如图），结论有：（1）△ADC∽△CDB∽△ACB（2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·BD（3）由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB（4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB（5）由面积得AC·BC=AB·CD（6）勾股定理ABCDEABCDABCDEDABCEDABC第一部分：比例线段例题精讲【例1】下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（）A．1、2、3、4B．1、2、2、4C．3、5、9、13D．1、2、2、3【例2】若bmma2,3，则_____:ba．【例3】已知cba,,是△ABC的三条边，对应高分别为,,abchhh，且6:5:4::cba，那么,,abchhh等于（）A．4：5：6B．6：5：4C．15：12：10D．10：12：15【例4】已知754zyx，则下列等式成立的是（）A．91yxyxB．167zzyxC．38zyxzyxD．xzy3【例5】如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．ADAEABACB．CEEACFFBC．DEADBCBDD．EFCFABCB【例6】已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证：ABAE＋CDCG＝1．课堂练习1.若a，x，b，y是比例线段，则比例式为_________；若a=1，x=-2，b=-2．5，则y=_______．2.若ab=cd，则有a∶d=_______；若m∶x=n∶y，则x∶y=_______．3.已知△ABC中三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为4,5,3abchhh．则a：b：c=____________．4.若0234xyz，则23______xyz.5.如图，△ABC中，，且DE=12，BC=15，GH=4，求AH．6.已知a、b、c是△ABC的三边，():():()(2):7:1,24acabcbabc.①求a、b、c的值．②判断△ABC的形状．第二部分：相似三角形判定类型一(平行法、‘AA’)例题精讲【例7】如图，已知△ADE∽△ABC，且∠ADE=∠B，则对应角为______________________________________________，AGDEAHBC对应边为________________________________________________．【例8】已知：如图，D、E是△ABC的边AC、AB上的点，且∠ADE=∠B．（1）求证：△ADE∽△ABC（2）求证：AD·AC=AE·AB【例9】已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且CE=CD，∠DAC=∠B．求证：△AEC∽△BDA【例10】已知:如图，ΔABC中，AD=DB，∠1=∠2．求证:ΔABC∽ΔEAD．【例11】如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，12DECD．（1）求证：△ABF∽△EDF（2）求证：△EFD∽△EBC；（3）若DF=4，求BC的长课堂练习7.图，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________8.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，试说明:2ABADAC.9.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝4，AD＝33，AE＝3，求AF的长．10.已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，求证：△DBE∽△ABC．11.如图，平行四边形ABCD中，E是DC的中点，连接BE交对角线AC于F．（1）求证：△ABF∽△CEF；（2）若AC=9，求AF的长．第三部分：相似三角形判定类型二(‘SAS’、‘SSS’)例题精讲【例12】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④【例13】已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．【例14】已知:如图，ΔABC中，CE⊥AB，BF⊥AC．求证:ΔAEF∽ΔACB．课堂练习12.如图，在大小为4×4的正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请在图中画出一个与△ACB相似且相似比为2的三角形．13.如图，O是△ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC．14.如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求证：DFDEACAB．第四部分：相似三角形判定类型三（直角三角形）例题精讲【例15】如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，则图中相似三角形有()A．1对B．2对C．3对D．4对【例16】已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高．求证：△ABC∽△CBD∽△ACD．课堂练习15.如图，锐角△ABC的高BD，CE交于O点，则图中与△BOE相似的三角形的个数是()A．1B．2C．3D．416.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，根据下列各条件分别求出未知所有线段的长：（1）AC=3，BC=4；（2）AC=52，AD=2；（3）AD=5，DB=1445；（4）BD=4，AB=29．第五部分：相似三角形判定类型四（特殊三角形）例题精讲【例17】下列说法正确的个数是()①有一个角相等的两个等腰三角形相似②有一个底角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形相似④顶角相等的两个等腰三角形相似A．1B．2C．3D．4【例18】已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD．【例19】如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．课堂练习17.下列说法正确的个数是()①所有的等腰三角形都相似②所有等边三角形都相似ABCD③所有直角三角形都相似④所有等腰直角三角形都相似A．1B．2C．3D．418.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE=DF，∠EDF=∠A．（1）找出图中相似的三角形，并证明；（2）求证：BDABCEBC．19.如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．第六部分：解决实际问题例题精讲【例20】2012黔南州）如图，夏季的一天，身高为1．6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3．2m，CA=0．8m，于是得出树的高度为（）A．8mB．6．4mC．4．8mD．10m【例21】如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1．5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（）A．24mB．25mC．28mD．30m【例22】如图，A﹑B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A﹑B间的距离，但绳子不够，于是他想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A﹑B两点，在AC的延长线上取一点D，使CD=21CA，在BC的延长线上取一点E，使CE=21CB，测得DE的长为5米，则AB两点间的距离为（）A．6米B．8米C．10米D．12米【例23】如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0．8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m，又测得地面的