泛函分析+课件+pdf版+浙江大学

泛函分析导引HongxinZhang2007-06-21StateKeyLabofCAD&CG,ZJU泛函分析概览z形成于20世纪30年代的数学分支z从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展而来z综合运用了函数论，几何学，代数学的观点¾可看成是无限维向量空间的解析几何及数学分析研究内容z无限维向量空间上的函数，算子和极限理论z研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射泛函分析的产生z十九世纪后数学发展进入了一个崭新阶段z对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何z对于代数方程求解的研究，建立并发展了群论z对数学分析的研究又建立了集合论z二十世纪初出现了把分析学一般化的趋势z瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作z希尔伯特空间的提出z分析学中许多新理论的形成，揭示出分析、几何、代数的许多概念和方法常常存在相似的地方z代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似z非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响泛函分析的产生z函数概念被赋予了更为一般的意义z古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系z现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系z在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子z研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。泛函分析的特点z把古典分析的基本概念和方法z一般化z几何化z从有限维到无穷维z泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具z从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统z现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统泛函分析的主要研究内容z泛函分析自身z算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论z与其他数学学科的关联z微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、计算数学、控制论、昀优化理论等学科中都有重要的应用，建立群上调和分析理论的基本工具z与其他科学学科的关联z连续介质力学、量子物理学，是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一Lp[a,b]空间z表示区间[a,b]绝对值的p次幂L可积函数的全体，并把几乎处处相等的函数看成是同一个函数。z拓展古典分析中的概念zLebesgue测度zLebesgue积分()[,],()d(1)bppaxtLabxttp∀∈≥∫存在从Riemann积分到Lebesgue积分zRiemann积分的定义：z设f(x)是定义在[a,b]上的有界函数z在[a,b]上任意取一组分点a=x0x1…xn-1xn=b,并任意取ξi∈[xi-1,xi](i=1,2,…,n)，作和式z若其极限存在则称Riemann可积1()niiiSfxξ==Δ∑01()()dlim()nbiiaxiRfxxfxξΔ→==Δ∑∫从Riemann积分到Lebesgue积分zRiemann积分的思想是，将曲边梯形分成若干个小曲边梯形，并用每一个小曲边梯形的面积用小矩形来代替，小矩形的面积之和就是积分值的近似。剖分越精细，近似程度越好。z不可积分的反例：Dirichlet函数z该函数太不连续了，在小区间内变化很大1,()0,xDxx⎧=⎨⎩当为有理数当为无理数从Riemann积分到Lebesgue积分zLegesgue积分的思想是，优先照顾函数取值，将函数值相差不大的那些x集中起来，考虑集合Ei={x|yi-1f(x)yi}，然后求其长度，yim(Ei)和yi-1m(Ei)用来近似所对应的那块面积，昀后再对所有的小块积分zDirichlet函数仍旧可以积分1,()0,xDxx⎧=⎨⎩当为有理数当为无理数从Riemann积分到Lebesgue积分zLegesgue积分方法所面临的问题：z给定直线上的点集E，如何定义它的“长度”？引出了集合测度的概念z对于任何实数a和b，点集{x|a≤f(x)b}是否有长度？该问题与函数y=f(x)的性质密切相关，引出了可测函数的概念泛函分析中的三个“空间”概念z距离空间zBanach空间（完备的赋范线性空间）zHilbert空间（完备的内积空间）大千世界，具云：三千大千世界。四大部洲之上，加须弥山半腰的四天王天，及须弥山顶的忉利天，并空间中的夜摩天、兜率天、化乐天、他化自在天等六天为欲界。再加上层的大梵天、梵众天、梵辅天等，色界初禅天为一世界，千个世界为小千世界。又一小千世界，具千日、千月、千须弥山、千四大部洲、千四天王天、千忉利天、千夜摩天、千兜率天、千化乐天、千他化自在天、千梵天等。又千个小千世界为中千世界，具百万日月、百万须弥山、百万四天下、百万六欲天、百万初禅天及千个二禅天。又千个中千世界为大千世界，具百亿日月、百亿须弥山、百亿四天下、百亿六欲天、百亿初禅天、百亿二禅天及千个三禅天。所谓三千世界，乃小千、中千、大千之所指三数目的千世界。又云大千，即指三千之中的大为目标，故说「三千大千世界」，略云「大千世界」。距离空间：定义z设X是非空集合，对于X中的任意两元素x与y，按某一法则都对应唯一的实数ρ(x,y)，并满足以下三条公理（距离公理）：1.非负性：ρ(x,y)≥0，ρ(x,y)=0当且仅当x=y；2.对称性：ρ(x,y)=ρ(y,x)；3.三角不等式；对任意的x,y,zρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y)z则称ρ(x,y)为x与y间的距离（或度量），并称X是以ρ为距离的距离空间（或度量空间），记成(X,ρ)，或简记为X；X中的元素称为X中的点．距离空间：注记z所谓距离空间，就是在集合X内引入了距离．z在一个集合中，定义距离的方式不唯一。如果对同一个集合X引入的距离不同那么所构成的距离空间也不同z在集合互中引入距离后，我们就说在X中引入了拓扑结构z极限是数学分析中的基本概念之一，有了它可以派生出许多其它概念．泛函分析用距离来导出一般化的极限概念．z如n→∞时xn→a，我们应理解为xn与a的距离当n→∞时趋向于零．距离空间：Rnzn维实（或复）Euclid空间Rn是n维向量x=(a1,a2,…,an)的全体，其中ai是实（或复）数.对任何的x=(a1,a2,…,an),y=(b1,b2,…,bn),规定z则Rn是距离空间1/22(,)()iiixyabρ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦∑距离空间：Lp[a,b]zLp[a,b]表示区间[a,b]绝对值的p次幂L可积函数的全体，并把几乎处处相等的函数看成是同一个函数，对于x,y∈Lp[a,b]，规定z则Lp[a,b]构成一个距离空间，称之为p次幂可积函数空间1/(,)()()d,1pbpaxyxtyttpρ⎡⎤=−≥⎢⎥⎣⎦∫距离空间：开集与闭集z邻域：给定距离空间Xz开集：z闭集：其补集是开集(){|(,),}xyxyyXδρδ=∈()GXxGxGxGδ⊂∈⊂设，，若存在，则为的内点GGX若上的每一点都是内点，是的开集距离空间：稠密性z设A,B为距离空间(X,ρ)中的两个集合，若对任意的x∈A，总存在yn∈A，使得yn→x，则称B在A中稠密z例子z有理数集R0在实数集R中稠密z多项式集P在连续函数集C[a,b]中稠密距离空间：可分性z设X是距离空间，如果X中存在一个可列子集X0，使得X0在X中稠密，则距离空间X是可分的z例子zn维Euclid空间是可分的z连续函数集C[a,b]是可分的z目的：用简单的逼近复杂的距离空间的完备性z柯西序列z设{xn}是(X,ρ)中的点列，若对任意的ε0，存在N0，当n,mN时，有ρ(xn,xm)ε.则称{xn}是X中的柯西(Cauchy)序列，或称基本序列z收敛的序列必然是柯西序列，而柯西序列未必是收敛的序列——空间的不完备性z若距离空间(X,ρ)中的每一个柯西序列都收敛于(X,ρ)中的某一元素，则称(X,ρ)是完备的距离空间距离空间的完备性zC[a,b]和Lp[a,b]都是完备距离空间距离空间：不动点原理z定义：设(X,ρ)为距离空间，T是X到X中的映照，如果存在数a(0a1)，使得对所有的x,y∈X都有ρ(Tx,Ty)aρ(x,y)，则称T是压缩映照z定理：完备距离空间X上的压缩映照T，必存唯一的不动点x*,使得Tx*=x*.（Banach压缩映照定理）距离空间：不动点原理z应用：微分方程，代数方程，积分方程解的唯一存在性z例子：Fredholm第二类积分方程z对充分小的|λ|，可证z当f∈C[a,b]，K(s,t)∈C[a,b;a,b]时有唯一连续解z当f∈L2[a,b]，K(s,t)∈L2[a,b;a,b]时有唯一平方可积解()()(,)()dbaxsfsKstxttλ=+∫线性空间z设V是一个非空集合，K是实（或复）数域，并可在其上定义“加法”，“数乘”运算，而且满足以下公理z加法交换律：x+y=y+xz加法结合律：(x+y)+z=x+(y+z)z存在零元：x+0=xz存在逆元：x+(-x)=0z数乘：1x=xza(bx)=(ab)xz(a+b)x=ax+bxza(x+y)=ax+ayz则称V是数域K上的线性空间x,y,z∈Va,b∈K范数与赋范线性空间z设X是实（或复）线性空间，如果对于X中每个元素x，按照一定的法则对应于实数||x||，且满足：z||x||≥0，||x||=0当且仅当x等于零元（x=0）z||ax||=|a|||x||，a是实（或复）数z||x+y||≤||x||+||y||z则称X是实（或复）赋范线性空间，||x||称为x的范数z赋范线性空间必然是距离空间：z定义ρ(x,y)=||x－y||范数与赋范线性空间z距离空间未必是赋范空间z反例：所有数列构成的空间z定义距离：z取12{(,,...,,...)|}niSxxxxR=∈11(,)12iiiiiixyxyxyρ∞=−=++∑(1,1,...,1,...),(0,0,...,0,...)xθ==1122(2,)1232iixρθ∞===+∑1121(,)1122iixρθ∞===+∑2(,)(2,)xxρθρθ≠巴拿赫(Banach)空间z如果赋范线性空间(X,||.||)是完备的，则称(X,||.||)是Banach空间z例子zn维Euclid空间Rn是Banach空间zLp[a,b](p≥1)是Banach空间，定义范数1/()d,1pbpaxxttp⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦∫巴拿赫(Banach)空间z例子：Ck[a,b]是Banach空间zCk[a,b]表示定义在区间[a,b]上k阶连续可导的函数全体.在Ck[a,b]定义范数z回忆在变分中提到的k阶接近度()(0)0max(),()()[,]kjjxxtxtxtCab===∈∑有限维赋范线性空间z线性空间的维数：若线性空间X中存在n个线性无关的元素e1,e2,…,en,使得任意的x∈X都可以唯一的表示为z则称{e1,e2,…,en}是X的基底，数组{c1,c2,…,cn}是x关于基底的坐标，n是线性空间的维数z有限维赋范线性空间可以等价于Euclid空间z有限维线性空间与Euclid空间是线性同构的z有限维赋范线性空间上的范数定义是等价的z有限维赋范线性空间是完备，可分的1122...nnxcecece=++有界线性算子z设T是由赋范线性空间X中的某个子集D到赋范线性空间X1中的一个映照，则称T是算子.D是T的定义域，记为D(T)，像集{y|y=Tx,x∈D}是T的值域，记为T(D).z若T进一步满足z可加性：T(x+y)=Tx+Tyz齐次性：T(ax)=aT(x)z则T是线性算子z若存在正数M使得对于一切x∈D(T)，有||Tx||≤M||x||，则T是有界算子有界线性算子zT是有界线性算子等价于T是连续线性算子z算子的范数：z对于一切x∈D(T)有||Tx||≤M||x||都成立的M的下确界，称作算子的范数，记为||T||有界线性算子z对于任何x∈L[a,b]定义z则T为L[a,b]到其自身的有界线性算子，且z容易证明线性z其次z等号成立情况()()()dtaTxtxss=∫Tba=−()()(