一元二次方程根与系数的关系难题(精品)

韦达定理及其综合应用韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值4.已知两数的和与积，求这两个数5.已知方程的两根x1，x2，求作一个新的一元二次方程x2–(x1+x2)x+x1x2=06.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)题1：（1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0的一根是另一根的4倍，则k=________（2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=__________解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=（1+2000a+a2+6a)（1+2000b+b2+5b)=6a•5b=30ab解法二：由题意知∵a2+2000a+1=0；b2+2000b+1=0∴a2+1=-2000a;b2+1=-2000b∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=（2006a-2000a)（2005b-2000b)=6a•5b=30ab∵ab=1，a+b=-200∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=（ab+2006a+a2)（ab+2005b+b2)=a(b+2006+a)•b(a+2005+b)=a(2006-2000)•b(2005-2000)=30ab解法三：由题意知∵a2+2000a+1=0；b2+2000b+1=0∴a2+1=-2000a;b2+1=-2000b∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=（2006a-2000a)（2005b-2000b)=6a•5b=30ab题2：已知:等腰三角形的两条边a,b是方程x2-（k+2）x+2k=0的两个实数根,另一条边c=1，求:k的值。题3：已知关于x的一元二次方程x2+3x+1-m=0（1）请为m选取一个你喜爱的数值，使方程有两个不相等的实数根。（2）设x1,x2是（1）中方程的两个根，不解方程求：①（x1-2）（x2–2）②（x1-x2)2（3）请用（1）中所选取的m值，因式分解：x2+3x+1-m（4）若已知x12+x22=10，求此时m的值。（5）问：是否存在符合条件的m，使得x12+x22=4？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。题4：已知αβ是方程x²＋2x－7＝0的两个实数根。求α²＋3β²＋4β的值。解法1∵α、β是方程x²＋2x－7＝0的两实数根∴α²＋2α－7＝0β²＋2β－7＝0且α＋β＝－2∴α²＝7－2αβ²＝7－2β∴α²＋3β²＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2×（－2）＝32解法2由求根公式得α＝－1＋2β＝－1－2∴α²＋3β²＋4β＝（－1＋2）2＋3(－1－2)²＋4(－1－2)＝9－4＋3(9＋4－4－8)＝3222222解法3由已知得：α＋β＝－2αβ＝－7∴α²＋β²＝（α＋β）²－2αβ＝18令α²＋3β²＋4β＝Aβ²＋3α²＋4α＝B∴A＋B＝4（α²＋β²）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64①A－B＝2(β²－α²)＋4(β－α)＝2(β＋α)(β－α)＋4(β－α)＝0②①＋②得：2A＝64∴A＝32题5：已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。x13＋7x22＋3x2－66的值。解：∵x1、x2是方程x2－x－9＝0的两根∴x1＋x2＝1且x12－x1－9＝0x22－x2－9＝0即x12＝x1＋9x22＝x2＋9∴x13＋7x22＋3x2－66＝x1(x1＋9)＋7(x2＋9)＋3x2－66＝x12＋9x1＋10x2－3＝x1＋9＋9x1＋10x2－3＝10(x1＋x2)＋6＝16题6：已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．题7：若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理可得。题9：已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．