平面介质光波导和耦合模理论

第2章平面介质光波导和耦合模理论目录2.1平面光波导的射线光学分析2.2平面光波导的波导方程分析2.2.1TE模的场方程及传播模式2.2.2TM模的场方程及传播模式2.3条形光波导的波导方程分析2.3.1模2.3.2模2.4耦合模理论2.4.1模式耦合2.4.2平面光波导的耦合模微扰理论2.4.3导模之间的耦合2.4.4导模与辐射模之间的耦合2.4.5光波导的激励ymnExmnE第2章平面介质光波导和耦合模理论•平板光波导（仅在x方向具有折射率差）•条形光波导（在x、y方向均具有折射率差）RidgewaveguidStriploadedwaveguidBuriedwaveguid2.1平面光波导的射线光学分析1122sinsinnn21sincnarcn折射光的Snell定律2.1.1光的全反射现象2.1.4--全反射临界角c21nn反射光的Fresnel定律222112111122222112211211cossincoscoscoscoscossinrosionnnEnnrrEnnnnn2.1.42222211211//2112//2222//2112211211cossincoscoscoscoscossinroPionnnnEnnrrEnnnnnn2.1.5当时，振幅反射率均为实数，即：一部分反射，一部分折射211arcsinnn当时，rs、p=1,即：对s、p型偏振光，只存在反射波，不存在透射波211arcsinnn2222////////cossincossinrrrrriiiiIIIIIRRRIIII2222////////cossincossintrtttiiiiIIIIITTTIIII入射波为线偏振光，---入射光电场矢量偏振面与入射面的夹角光从空气入射到到普通玻璃时反射率R随入射角的变化曲线反射率与1入射光的偏振态，2入射角，3折射率差有关对于无损耗介质有////111RTRTRT垂直入射时：221//2121//2214nnRRnnnnTTnn123nnn1n2n3n23nn---非对称波导23nn---对称波导非对称波导传导模条件为2121sincnn3131sincnn32121311sinsinsiniccnnnn衬底辐射波条件覆盖层辐射波条件32121311sinsinsincicnnnn3131sinsinicnn自由空间传输的平面波与波导中传播的平面波2/ook1sinZikk在波导中传播的波为锯齿状，可分解为沿Z方向传播的行波和沿X方向传播的驻波定义：沿Z方向的传播常数1112/ooknkn2.1.6k1---在折射率n1的自由空间沿Z方向传播的电磁波的波矢量（传播常数）1n2n3n(,)exp()ZooEztEjtjkz传导波条件1sinZikk1112/ooknkn32121311sinsinsiniccnnnn2212111sinsinicnkknk2121ookknknk定义导波有效折射率/effonk21effnnn2.1.72.1.9导波截止条件1sinZikkmax11oknk1onk在区域不可能存在导波----导波截止区在衬底和覆盖层都出现辐射模式的条件为：2212111sinsinicnkknk3313111sinsinicnkknk32effnnn2.1.1130effnn2.1.12仅在衬底出现辐射模式的条件为：关于的讨论1.可能存在多个解，每个解对用于一个导波，称为一个本征模。波导中允许一组离散的本征模存在，用模数m代表每个本征模，m=0、1、2、3、、、，m较小的叫低阶模，m较大的叫高阶模2.波导中可能存在的m数与波导厚度d、折射率差△有关，它们越大，存在的模数数量越多；△较小的称为弱波导3.截止波长：对应的波长为截止波长，对应的模式称为主模；比截止波长长的光波将就进入截止区不能传输；每个模式都有自己的截止波长。4.单模传输：仅能在波导中传输主模。其条件为：在波导中传输的光波波长比主模截止波长长，又比次阶模式的截止波长短max1112/ooknkn截止波长和单模条件讨论数值孔径N.A和相对折射率差△22220011111121sinsincos1sin1sinnnnnnnn01,2n①临界全反射光线--=0③全反射光线--0②泄露光线--00入射临界角1全反射角222202011211,,sin12nnnnnnN.A和△意义2212212nnn光纤对光场的约束能力12NAn光纤端面最大接收角的正弦平面光波导的模式及传播常数小结21sin'cnn图2.2.7平面光波导中的光线路径（a）包层辐射模；（b）衬底辐射模；（c）导模21sinsnn31sincnnn2≥n3,s≥c21effnnn32effnnn30effnn123nnn2.2平板光波导的波动方程分析2.2.0波导方程的推导思路2.2.1TE模的场方程及传播模式2.2.2TM模的场方程及传播模式2.2.0波导方程的推导思路麦克斯韦方程组0Jt0DHJtBEtBDH-磁场强度，E-电场强度B-磁感应强度，D-电位移矢量-电荷密度，J-电流密度2.2.0.1电荷守恒定律2.2.0.2物质方程2.2.0.3P-媒质极化强度，M-磁化强度-媒质电导率，o、o-自由空间的介电常数和磁导率00rOOrOJEDEPEBHMHH0DHJtBEtBD波动方程的推导思路：1、光波导材料为不导电的均匀、各向同性，J=0，=0，r为常数2、对公式2.2.0.1前2个式子做旋度处理，并利用后两式结果，可以得到222222222200nEEctnHHct式中1/oorrrcn2.2.0.5对频率为的谐波(,)exp()oZoEztEjtjkr2.2.0.5变为2220222000EknEHknH2.2.0.6U--电磁场的某一分量,22200UknU2.2.0.7n—媒质折射率22200002/k直角坐标系中222220222UknUxyzexp[()]xyzUAjtkxkykz2222222222///xyzxkykzk2.2.0.8a其通解为：2.2.0.9将2.2.0.9带入2.2.0.8a，得：22222022222220()()()xyUknUxykkUknU2.2.0.10再带回2.2.08a，得：2.2.0.8b2.2.0.8c或讨论：00,/??,/?()xyxyknkkknkk电磁波特性(,,,)()exp()exp()zxzExyztExjtkzEjtkz2.2.1TE模的场方程及传播模式自由空间的横电磁波（TEM）电磁波(,,,)()exp()exp()zxzExyztExjtjkzEjtjkz(,,,)()exp()exp()zyzHxyztHyjtjkzHjtjkz波导内沿Z方向传输的电磁波是？？？xyzxyzEEEHHH、、、、、、计算发现：在如上的直角坐标系所标识的波导中沿Z方向传输的电磁波只包含三个非零的分量xyzHEH、、我们称（只有横电场分量）具有上述分量的电磁波为横电场模式---TE模2222012()0yydEknEdx将三个区域TE模的电磁波Ey带入公式2.2.0.8b，得：2.2.3-----芯区TE模的场方程及传播模式12233cos()exp[()]exp[()]xEkxxaEaxaxaEaxaax()yEx2.2.4式中22221222222222233xoooknkankank2.2.5a2.2.5b2.2.5ckx---x方向的波数，a2、a3---分别为衬底层、覆盖层中电场沿X方向的衰减常数，k0---真空中的波数，---场量在Z方向的传播常数注：上式中省略了exp(-jz)利用麦克斯韦方程可得：xyOyzOHEEjHx利用上述分量在x=±a处的连续条件，得导模的特征方程：2323arctan(/)arctan(/)11arctan(/)arctan(/)222xxxxxkdmakaknakak2.2.6a2.2.6b2da式中为波导厚度，m=0、1、2、3、、、，n=0、1。m取偶数时，n=0；m取奇数时，n=1由公式2.2.6和2.2.5可以求出2.2.4解中的各个参数。每个m值对应一个TE电磁波的模式----TE波的本征模讨论112233Ecos()Esin()Eexp[()]Eexp[()]xxkxxakxaxaxaaxaax()yEx22221222222222233xoooknkankank1、当a2、a3均为正数时，也为正数，此时的电磁波是沿Z传播的行波、在x方向：波导芯处按振荡TEm芯外衰减的电磁波----导波模式a2、a3均为正数的条件为公式2.1.7：2.2.72、若a2、a3中的一个或都是虚数时，此时的电磁波是沿Z传播行波的同时、在x方向：也为行波----辐射模式2.2.821oonknk0302030knknkn平面光波导的模式及传播常数小结21sin'cnn图2.2.7平面光波导中的光线路径（a）包层辐射模；（b）衬底辐射模；（c）导模21sinsnn31sincnnn2≥n3,s≥c21effnnn32effnnn30effnn123nnnTE0M=0M=13、截止波长如果某个模式在衬底出现辐射则称该模式截止，由截止条件带入公式2.2.5a得到kx，带入2.2.6a可得2.2.9aTEm模式的截止波长2223220122212arctannnkdnnmnn2212222322122()arctancmdnnTEnnmnn同理TMn模式的截止波长2212222231223122()arctancmdnnTMnnnnnnn2.2.9b02kn4、模式数量M2223220122212arctannnkdnnmnnc由截止时的特征方程和传输条件，得到TE的模式数m和TM的n221224Mmndnn取整数2.2.9c结论：1、截止波长与波导厚度成正比，与折射率差相关2、模数m、n越高，该模式的截止波长越短3、非对称波导中m=0的TE0模式的截止波长最长，最容易满足传输条件，即TE0模是主模4、对给定的波导，若工作波长缩短，则波导中传播的模式数目M增加5、对于对称平板波导的TE0模和TM0模，其截止波长均为无穷，即无论多长的波长在平板波导中都不截止图2.2.9平面光波导中TE模式不同传播常数β值下的场分布特性2.2.1TM模的场方程及传播模式xyzEHE、、112233cos()sin()exp[(