§11.1-随机事件、古典概型与几何概型

五年高考三年模拟栏目索引第十一章概念与统计§11.1随机事件、古典概型与几何概型高考文数(课标Ⅱ专用)五年高考三年模拟栏目索引考点一随机事件的概率五年高考A组统一命题·课标卷题组1.(2018课标全国Ⅲ,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 ()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案B本题考查互斥事件、对立事件的概率.设事件A为“不用现金支付”,事件B为“既用现金支付也用非现金支付”,事件C为“只用现金支付”,则P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4.故选B.五年高考三年模拟栏目索引2.(2019课标全国Ⅱ,14,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.答案0.98解析考查用频率估计概率和运算求解能力;考查的核心素养为数学抽象和数学运算.设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率为0.99的事件为C,则用频率估计概率有P(A)= = ,P(B)= = ,P(C)= = ,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97× +0.98× +0.99× =0.98.101020101420102010121010201014141214五年高考三年模拟栏目索引3.(2017课标全国Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.五年高考三年模拟栏目索引解析本题考查概率的计算.(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为 =0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为 =0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.216369036257490五年高考三年模拟栏目索引4.(2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.五年高考三年模拟栏目索引解析(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,故P(A)的估计值为0.55. (3分)(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,故P(B)的估计值为0.3. (6分)(3)由所给数据得60502003030200保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05(10分)调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a. (12分)评析本题考查了频率的求解方法,同时对考生的应用意识及数据处理能力进行了巧妙的考查,属中档题.五年高考三年模拟栏目索引1.(2019课标全国Ⅱ,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 ()A. B. C. D. 23352515考点二古典概型答案B本题主要考查古典概型;考查学生的逻辑推理和运算求解能力;考查的核心素养是数学运算与数据分析.记5只兔子分别为A,B,C,D,E,其中测量过某项指标的3只兔子为A,B,C,则从这5只兔子中随机取出3只的基本事件有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6种,所以所求事件的概率P= = .61035五年高考三年模拟栏目索引2.(2019课标全国Ⅲ,3,5分)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是 ()A. B. C. D. 16141312答案D本题考查古典概型,以现实生活中常见的学生排队问题为背景,考查学生对数学知识的应用意识.设两位男同学分别为A、B,两位女同学分别为a、b,则四位同学排成一列,所有可能的结果用树状图表示为共24种结果,其中两位女同学相邻的结果有12种,∴P(两位女同学相邻)= = ,故选D.122412技巧点拨用树状图列举所有可能的结果是求解古典概型问题的基本方法之一.五年高考三年模拟栏目索引3.(2018课标全国Ⅱ,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3答案D设两名男生为A,B,三名女生为a,b,c,则从5人中任选2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10种.2人都是女同学的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,所以所求概率为 =0.3.310方法总结(1)应用公式P(A)= 求概率的关键是寻求基本事件的总数和待求事件包含的基本事件的个数.(2)基本事件个数的确定方法:①列举法:此法适用于基本事件较少的古典概型;②列表法:此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法;③画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题或较复杂问题中基本事件数的探求.mn五年高考三年模拟栏目索引4.(2017课标全国Ⅱ,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ()A. B. C. D. 1101531025答案D本题考查古典概型.解法一:记A为事件“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”.从5张卡片中等可能有放回地抽取2次,每次抽取1张,共有25种等可能的结果.A发生当且仅当“第1张卡片上的数字为i时,第2张卡片上的数字为1,2,…,i-1,其中i=2,3,4,5”.共有1+2+3+4=10种,故P(A)= = .解法二:如下表所示,表中点的横坐标表示第1次抽取的数,纵坐标表示第2次抽取的数:102525五年高考三年模拟栏目索引123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)总计有25种情况,满足条件的共有1+2+3+4=10种,所以所求概率为 = .102525五年高考三年模拟栏目索引5.(2016课标全国Ⅰ,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ()A. B. C. D. 13122356答案C从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P= = ,故选C.4623解后反思从4种颜色的花中任选2种共有6种情况,不重不漏地列举出所有情况是解题关键.评析本题主要考查了古典概型、不重不漏地将所有情况列举出来是解题关键.五年高考三年模拟栏目索引6.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ()A. B. C. D. 81518115130答案C小敏输入密码前两位的所有可能情况如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为 .115五年高考三年模拟栏目索引7.(2015课标Ⅰ,4,5分,0.771)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为 ()A. B. C. D. 31015110120答案C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有10种取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成一组勾股数的有1种:(3,4,5),故所求事件的概率P= ,故选C.110五年高考三年模拟栏目索引考点三几何概型(2017课标全国Ⅰ,4,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 () A. B. C. D. 148124答案B设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为 ,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P= = ,故选B.22228五年高考三年模拟栏目索引考点一随机事件的概率B组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2016天津,2,5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则甲不输的概率为 ()A. B. C. D. 121356251613答案A设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲不输的概率P=P(A+B)=P(A)+P(B)= + = ,故选A.121356五年高考三年模拟栏目