姿多彩的分形几何学及其应用”ppt文件

2012年7月1一门新兴的学科——多姿多彩的分形几何学及其应用（研究生文化前沿系列讲座之一）江苏师范大学戴朝寿2012年7月16日2012年7月2高等教育（大学）的历史使命（四大职能）：人才培养，科学研究，社会服务，文化传承与创新美国杰出的物理学家（两弹元勋、现代广义相对论之父）、物理学思想家、物理学教育家惠勒（Wheeler）断言：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人。”2012年7月3问题的提出你知道人脑表面的皱纹、菜花纹路可以用数学来刻画吗？你知道海岸线以及各大江河主支流的状况可以用数学来刻画吗？你知道演绎了旷世恋情的《泰坦尼克号》电影中那条豪华游轮在危难时的“海浪背景”是如何生成的吗？你知道维数可以是分数吗？2012年7月4认识分形如果你从未听说过“分形”，一时又很难搞清楚分形是什么，有一个简单迅捷的方法：去市场买一颗新鲜的菜花（花椰菜），掰下一枝，切开，仔细观察，思考其组织结构。这就是分形！分形可以是自然存在的，也可以是人造的：花椰菜、树木山川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形；再想想闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星系、各种生物体的表面、小肠绒毛、大脑皮层等等的形状、结构！2012年7月5分形(fractal)分形几何理论诞生于20世纪70年代，创始人是美国科学院院士、著名数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot)，他1982年出版的《自然界中的分形几何学》(TheFractalGeometryofNature)是这一学科经典之作。分形(fractal)是近20多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念。混沌(chaos)、孤立子(solitons)和分形(fractals)是非线性科学(nonlinearscience)中三个最重要的概念。2012年7月6一、从研究“英国的海岸线有多长”所引发的问题1967年曼德尔布罗特在《科学》上发表了题为《英国的海岸线有多长?——统计自相似性与分数维数》的著名论文。此文的原由在于曼德尔布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误差，往往是大国公布的公共边界线短，而小国公布的公共边界线长。原因在于边界线是一条复杂的曲线，所用的测量尺度越小，测量的长度就越长。2012年7月7二、分形几何学发展的历史回顾分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支,它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。分形理论的数学基础是分形几何学。分形理论的发展大致可分为三个阶段。下面简要回顾一下分形理论在这三个历史阶段的发展过程。2012年7月8第一阶段：对几类分形集的认识自1875年至1925年,人们已认识到几类典型的分形集,并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻划。自然界中的所有形状和人类迄今所考虑的一切图形，大致可分为如下两种：一种是具有特征长度的图形；另一种是不具有特征长度的图形。属于具有一定特征长度的一类物体的基本形状，具有其线、面为光滑的共同性质。1827年发现的布朗（R.Brown）运动是一种极为典型的随机分形集，其轨迹连续但处处不可微。2012年7月9维尔斯特拉斯函数1872年，德国分析学大师魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass)构造出函数证明了它连续而处处不可微。这一反例在当时引起了极大的震动。遗憾的是，尽管人们在观念上产生了改变，但仍视这种类型的函数为“病态”之例而打入另册。03()cos(01,1),2nnnfxabxabab是奇整数，2012年7月10实例一康托三分集（1872年）记是单位长直线段[0，1]；设是去掉中间的1/3部分所得到的集，即；然后从构成的2个子区间中分别去掉中间的1/3部分，所得的4个子区间构成，即；如此继续下去，是从构成的每个区间中分别去掉中间的1/3部分而得到的长度为的个子区间之并集；当充分大时，与之间只在精细的细节上不同；康托三分集是指由所有的公共点构成的集，即，C实际上是集序列当n趋于无穷时的极限。0C1C1,3/23/1,01C1C0C19/89/73/23/19/29/102，，，，CnC1nCn3n2nnC1nCnC0nnC2CnCC2012年7月110C1C2C3C4C图1康托三分集前四步的构造2012年7月12实例二科赫曲线（1904年）设K0是单位长直线段；K1是由过原三等分这线段，去掉中间一份而代之以底边为被去掉的线段的等边三角形向上指的另外两条边所得到图形，它包含边长为1/3的四条线段；对K1的每条线段都重复上述过程来构造K2，它包含边长为的16条线段；如此继续下去，于是得到一个曲线序列{Kn}，其中Kn是将Kn-1的每条线段上中间1/3部分用底边为这1/3部分的等边三角形向上指的另外两边取代而得到的；当n充分大时，曲线Kn和Kn-1只在精细的细节上不同；而当n→∞时，曲线序列{Kn}的极限就称为科赫曲线。0nnKK2132012年7月13图2科赫曲线前五步的构造K0K1K2K3K4K52012年7月14实例三科赫雪片若将K0换成单位长度的等边三角形，对每边按照上述方法构造科赫曲线，便得到讨人喜欢的科赫雪片，如图3所示。图3科赫雪片前三步的构造2012年7月15第二阶段：对长度、面积等度量单位概念的重新探索在1926年到1975年这半个世纪里，人们对分形集的性质进行了深入的研究，特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果。贝西康维奇(Besicovitch)及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究了曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、S-集的分析与几何性质，以及在数论、调和分析、几何测度论中的应用。问题的关键——一个几何对象的量度依赖于测量方式以及在测量时所选取的尺度。2012年7月16经济学上的一个实际背景1960年，曼德尔布罗特在对棉花价格数据随60年时间变化的曲线进行分析时，通过在数学上对这批数据进行计算机处理，发现了惊人的结果：价格的每一次特定的变化是随机的，但长期的变化又是与时间尺度无关的，反映在价格的日变化曲线与月变化曲线在变化规律上完全类似；甚至在经历两次世界大战和一次经济大萧条的60年动荡岁月中，价格的这种变化规律保持不变。大量无序的数据里竟然存在着一种出乎意料的有序！2012年7月17第三阶段：分形几何学的创立自1975年至今是分形几何学创立并形成独立学科，分形几何在各个领域的应用取得全面进展的阶段。1967年，曼德尔布罗特在国际权威杂志美国《科学》上发表了题为“英国的海岸线有多长？”的研究论文，震动了整个学术界，分形的概念开始萌芽生长。1973年，在法兰西学院讲学期间，他提出了创立分形几何学的思想，认为分形几何学可以处理自然界中那些极不规则的构型，指出分形几何学将成为研究许多物理现象、自然现象的有力工具。2012年7月18分形“fractal”一词的由来1975年冬天的一个下午，曼德尔布罗特翻看儿子的拉丁文词典，突然受到启发：()frangerefractusfractalfracturefraction拉丁文：分形英文：(破坏)（不规则的）（断裂）（分数）（既是名词，又是形容词；既是英文，又是法文）2012年7月19“分形”一词的命名70年代末“fractal”传到中国，一时难以定译。中科院物理所李荫远院士认为：“‘fractal’应当译成‘分形’。”郝柏林、张恭庆、朱照宣等院士表示赞同，于是在中国大陆，“fractal”被定译“分形”。台湾将其译为“碎形”，显然不如“分形”好。分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。“分形”之译，的确抓住了fractal的本质——科学本质、哲学本质和艺术本质。2012年7月20曼德尔布罗特的历史贡献1975年曼德尔布罗特用法文出版了奠基性专著《分形对象:形状、机遇与维数》(Lesobjetsfractals:forme,hasardetdimension)，1977年出版了此书的英译本《Fractals:Form,ChanceandDimension》，第一次系统地阐述了分形集合的思想、内容意义和方法。1982年又出版了此书的增补本，改名为《自然界中的分形几何学》。这两部著作的发表，标志着分形几何学迈进了现代新兴学科之林，激发起了国际科学界的极大兴趣。曼德尔布罗特经过长期艰苦努力所获得的巨大成就，致使他赢得了崇高的荣誉。2012年7月21三、分形概念的建立•康托集C是自相似的，迭代过程中每步所保留的两个部分与整体的相似比例均为1/3；•C具有精细结构，即在任意小的比例尺度内都包含整体特征；•C是无穷次迭代的结果，连续的迭代过程可得到C之越来越好的近似Cn；•C难以用经典的数学语言来描述，它既不是满足某些简单几何条件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集；•C是无限不可数集，但其长度为康托三分集C的特性2()lim()lim0.3nnnnlClC1.对产生分形实际背景的分析2012年7月22科赫曲线K的特性•科赫曲线K是自相似的，迭代过程中每次所得到的四个部分与整体的相似比例均为1/3；•K具有精细结构，即在任意小的比例尺度内都包含整体特征；•K是无穷次迭代的结果，连续迭代过程可得到K之越来越好的近似Kn；•K难以用经典的数学语言来描述，它既不是满足某些简单几何条件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集；•K的长度为,而面积为0。4()lim()lim3nnnnlKlK2012年7月23科赫雪片E的面积43)949491(343)(3222Em43])94(431[1nn43)94194431(4358.5322012年7月24•波兰著名数学家谢尔平斯基（W.Sierpin-ski）在1915-1916年期间构造了几个典型的分形例子，这些有趣的图形常分别称为谢尔平斯基垫片、谢尔平斯基毯片与谢尔平斯基海绵。谢尔平斯基垫片、毯片与海绵图4谢尔平斯基垫片E前五步的构造1E2E3E5E2012年7月260F1F4F3F2F的放大4F图5谢尔平斯基毯片F前四步的构造2012年7月27图6谢尔平斯基海绵S第一步的构造2012年7月28图7谢尔平斯基海绵S2012年7月292.分形的直观描述曼德尔布罗特经过几十年的探索，在对大量不具有特征长度几何图形进行分析、综合的基础上，提炼出“在尺度变换下保持不变性”（即“无标度性”）这一要素，于1986年给出分形概念以如下的直观描述：分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形（Afractalisashapemadeofpartssimilartothewholeinsomeway）。亦即：如果一个图形其组成部分以某种方式与整体相似，则称该图形为分形。2012年7月30自相似性在数学计算上的应用举例例1由0333.03.0333.03.0xx1.03.0333.01.03.0解得,31x即.31333.0类似地，由90.09.09.0x0.90.10.90.90.1x解得,1x即.1999.02012年7月31例2记,1211rrrxnn,1r熟知这是一个收敛的几何级数。注意到,1112rxrrrx解得,11rx即.1111rrnn分析：x包含它自身的一个分数部分，即.rxax2012年7月32四、分形维数维数是几何对象的一个重要特征。欧几里得：“曲面有两个量度，曲线有一个量度，点连一个量度也没有。”这里的量度即为后来人们所说的欧几里得维数。随着数学本身的发展，人们将维数定义为确定几何对象中一个点的位置需要的独立坐标的个数。点是0维的，直线是1维的，正方形是2维的，立方体是3维的。1.经典的拓扑维数2012年7月33对于更抽象或更复杂的几何形体，只要它的每个局部可以和欧几里得空间相