【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)平面向量基本定理及坐标表示 理

-1-第二节平面向量基本定理及坐标表示【考纲下载】1．了解平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．(2)平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．②设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是A点的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)2．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)；(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)；(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1.1．相等向量的坐标一定相同吗？相等向量起点和终点坐标可以不同吗？提示：相等向量的坐标一定相同，但是起点和终点的坐标可以不同．如A(3,5)，B(6,8)，则AB＝(3,3)；C(－5,3)，D(－2，6)，则CD＝(3,3)，显然AB＝CD，但A，B，C，D四点坐标均不相同．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能表示成x1x2＝y1y2吗？提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，c＝(6,4)，则c＝()A．4a－2bB．4a＋2bC．－2a＋4bD．2a＋4b解析：选A设c＝λa＋μb，则有(6,4)＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，即λ－μ＝6，λ＝4，从而μ＝－2，故c＝4a－2b.2．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于()-2-A．5B．10C.325D．15解析：选B∵a∥b，∴4y＝5×8，即y＝10.3．若A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，则AB－2BC＝________.解析：∵A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，∴AB＝(1,1)，BC＝(2,2)，∴AB－2BC＝(1,1)－(4,4)＝(－3，－3)．答案：(－3，－3)4．(教材习题改编)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.解析：∵a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，且(a＋b)∥c，∴1×2＝－(m－1)，即2＝－m＋1，∴m＝－1.答案：－1考点一平面向量基本定理的应用[例1]在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.[自主解答]选择AB，AD作为平面向量的一组基底，则AC＝AB＋AD，AE＝12AB＋AD，AF＝AB＋12AD，又AC＝λAE＋μAF＝12λ＋μAB＋λ＋12μAD，于是得12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，即λ＝23，μ＝23.故λ＋μ＝43.[答案]43【互动探究】在本例条件下，若AE＝c，AF＝d，试用c，d表示AB，AD.解：设AB＝a，AD＝b，因为E，F分别为CD和BC的中点，所以BF＝12b，DE＝12a，于是有：c＝b＋12a，d＝a＋12b，解得a＝23d－c，b＝23c－d即AB＝23(2d－c)＝43d－23c，AD＝23(2c－d)＝43c－23d.【方法规律】应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM-3-＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________.解析：因为AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，BH＝13BC.因为点M为AH的中点，所以AM＝12AH＝12(AB＋BH)＝121()3ABBC＝12AB＋16BC，即λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.答案：23考点二平面向量的坐标运算[例2]已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.求：(1)3a＋b－3c；(2)满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)M，N的坐标及向量MN的坐标．[自主解答]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.(3)设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M的坐标为(0,20)．又CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N的坐标为(9,2)．故MN＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．【方法规律】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(－3，4)，求第四个顶点D的坐标．解：设顶点D(x，y)．若平行四边形为ABCD.则由AB＝(1,5)，DC＝(－3－x,4－y)，得－3－x＝1，4－y＝5，所以x＝－4，y＝－1；若平行四边形为ACBD，则由AC＝(－7,2)，DB＝(5－x，7－y)，得5－x＝－7，7－y＝2，所-4-以x＝12，y＝5；若平行四边形为ABDC，则由AB＝(1,5)，CD＝(x＋3，y－4)，得x＋3＝1，y－4＝5，所以x＝－2，y＝9.综上所述，第四个顶点D的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9).高频考点考点三平面向量共线的坐标表示1．平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．2．高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下几个命题角度：(1)利用两向量共线求参数；(2)利用两向量共线的条件求向量坐标；(3)三点共线问题．[例3](1)(2013·陕西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于()A．－2B.2C．－2或2D．0(2)(2011·湖南高考)设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．(3)(2014·瑞金模拟)若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a＋1b的值等于________．[自主解答](1)因为a∥b，所以m2＝2，解得m＝－2或m＝2.(2)∵a与b方向相反，∴可设a＝λb(λ0)，∴a＝λ(2，1)＝(2λ，λ)．由|a|＝5λ2＝25，解得λ＝－2，或λ＝2(舍)，故a＝(－4，－2)．(3)AB＝(a－2，－2)，AC＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以1a＋1b＝12.[答案](1)C(2)(－4，－2)(3)12平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A，B，C三点共线等价于AB与AC共线．1．(2013·辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()-5-A.35，－45B.45，－35C.－35，45D.－45，35解析：选A∵A(1,3)，B(4，－1)，∴AB＝(3，－4)，又∵|AB|＝5，∴与AB同向的单位向量为ABAB＝35，－45.2．已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.解析：由题意知a＋b＝(m－1，－3)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c，得(－3)×(－1)－(m－1)×2＝0，即2(m－1)＝3，故m＝52.答案：523．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．解析：法一：由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP－OA＝(4λ－4,4λ)．又AC＝OC－OA＝(－2,6)，由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP＝34OB＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．法二：设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4,4)，且OP与OB共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2,6)，且AP与AC共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3,3)．答案：(3,3)———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个区别——向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝OA＝(x，y)．种形式——向量共线的充要条件的两种形式(1)a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)；(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．个注意点——解决平面向量共线问题应注意的问题(1)注意0的方向是任意的；(2)若a、b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.易误警示(七)平面向量坐标运算中的易误点用平面向量解决相关问题时，在便于建立平面直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，可以使向量的坐标运算更简便一些．-6-[典例](2013·北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.[解题指导]可建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，求出a，b，c的坐标，然后利用c＝λa＋μb即可求出λ和μ的值，从而使问