【信号与系统课件】【陈后金版】【西安交通大学】【梁志虎】【5_系统的时域分析_1】

梁志虎lzh@[e-mail]1统统任务任务系统分析系统分析任务任务分析信系建立数学模型分析信号通过系统产生的响应2统时域统时域系统的时域分析系统的时域分析线性时不变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应连续时间系统的冲激响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质离散时间LTI系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质冲激响应表示的系统特性3线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点[例3-1】求电阻R2两端电压和输入电压源f(t)的关系CL12关系R1R2f(t)线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点[例3-2】确定位移与外力f(t)的关系线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点[例3-4】某人从当月起每月初到银行存款f[k]元，月息r=015%设第k月月初的总存款数为y[k]元，月息r=0.15%.设第k月月初的总存款数为y[k]元，试写出总存款数与月存款数f[k]的关系[](1)[1][]ykrykfk[](1)[1][]ykrykfk[](1)[1][]ykrykfk线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点[例3-5】平滑滤波21[][]1MykfknMM1121nMMM11.511.5100.5100.5100.515-1-0.5050100150200250-1.5-1-0.5050100150200250-1-0.5050100150200250-1.5050100150200250M1+M2=4M1+M2=16线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点线性时不变线性时不变()()系统系统的描述的描述连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述线性时不变线性时不变(LTI)(LTI)系统系统的描述的描述连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述)()(')()(01)1(1)(tyatyatyatynnn)()(')()(01)1(1)(tfbtfbtfbtfbmmmmai、bj为常数。i、j为常数离散LTI系统用N阶常系数线性差分方程描述][][00jkfbikyajmjini00jiai、bj为常数。8线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点线性时不变系统线性时不变系统的特点的特点线性时不变系统线性时不变系统的特点的特点由于LTI系统具有线性特性和时不变特性，因此具有:1）微分特性或差分特性：若T{f(t)}=y(t)则tytfTd)(d}d)(d{若T{f(t)}y(t)则ttd}d{若T{f[k]}=y[k]则T{f[k]-f[k-1]}=y[k]-y[k-1]{f[]}y[]{f[]f[]}y[]y[]2）积分特性或求和特性：tt若T{f(t)}=y(t)则d)(}d)({yfTtt若kk若T{f[k]}=y[k]则][]}[{nynfTnn9[例]已知LTI系统在f1(t)激励下产生的响应为y1(t)，f1()y1()试求系统在f2(t)激励下产生的响应y2(t)。1f1(t)f2(t)1t1t1解：解：01t01从f1(t)和f2(t)图形可以看得出，f2(t)与f1(t)存在以下关系d)()1()(11)1(12ftftft根据线性时不变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系d)()(1tt)1()1(50)1(2td)()(12yty)1()e1(5.0)1(2tut10统时域统时域系统的时域分析系统的时域分析线性时不变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应连续时间系统的冲激响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质离散时间LTI系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质冲激响应表示的系统特性11连续时间连续时间LTILTI系统系统的响应的响应经经典时域分析方法典时域分析方法卷卷积法积法卷卷积法积法零输入响应求解零输入响应求解零状态响应求解零状态响应求解12连续时间连续时间LTILTI系统系统的响应的响应1.1.经典时域分析方法经典时域分析方法::求解微分方程2.2.卷积法卷积法::系统完全响应=零输入响应+零状态响应)()()()(*)()(hf求解齐次微分方程得到零输入响应)()()(tytytyfx)(*)()(thtftyx求解齐次微分方程得到零输入响应利用卷积积分可求出零状态响应13经典时域分析方法经典时域分析方法一、经典时域分析方法一、经典时域分析方法微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解()和特解()组成yh(t)和特解yp(t)组成)()()(ttt)()()(phtytyty齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定14经典时域分析方法经典时域分析方法一、经典时域分析方法一、经典时域分析方法齐次解yh(t)的形式(1)特征根是不等实根(1)特征根是不等实根s1,s2,,sntsntstsnKKKtyeee)(2121h(2)特征根是等实根s1=s2==sn=stsnntststKtKKty121heee)((3)特征根是成对共轭复根2/jnis)sincos(e)sincos(e)(11211h1tKtKtKtKtyinintti(3)特征根是成对共轭复根2/,jnisiii)sincos(e)sincos(e)(11211htKtKtKtKtyinin15经典时域分析方法经典时域分析方法一、经典时域分析方法一、经典时域分析方法常用激励信号对应的常用激励信号对应的特解特解形式形式输入信号特解输入信号特解KAKtA+BtKeat(特征根sa)Aeat()Keat(特征根s=a)AteatKsin0t或Kcos0tAsin0t+Bcos0tKsin0t或Kcos0tAsin0t+Bcos0tKeatsin0t或Keatcos0tAeatsin0t+Beatcos0t16[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程0)()(8)('6)(f初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号f(t)=etu(t)，求系统的完全响应0),()(8)('6)(ttftytyty系统的完全响应y(t)。解:(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解y(t)0862ss(1)求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)0的齐次解yh(t)特征方程为4221ss，特征根为齐次解yh(t)t02412()tthytKeKe17[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程0)()(8)('6)(f初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号f(t)=etu(t)，求系统的完全响应0),()(8)('6)(ttftytyty系统的完全响应y(t)。解:(2)求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=f(t)的特解y(t)(2)求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)f(t)的特解yp(t)由输入f(t)的形式，设方程的特解为由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Cett0将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。18[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程0)()(8)('6)(f初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号f(t)=etu(t)，求系统的完全响应0),()(8)('6)(ttftytyty系统的完全响应y(t)。解:(3)求方程的全解(3)求方程的全解tttBAtytytye31ee)()()(42ph解得A5/2B11/63p131)0(BAy解得A=5/2，B=11/6323142)0('BAy11150,e31e611e25)(42ttyttt191)若初始条件不变，输入信号f(t)=sintu(t)，则系统的完全响应y(t)=？系统的完全响应y(t)2)若输入信号不变初始条件'2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y'(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？y()20经典法不足之处经典法不足之处经典法不足之处经典法不足之处若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。应的物理概念21二卷积法二卷积法二、卷积法二、卷积法系统完全响应系统完全响应==零输入响应零输入响应++零状态响应零状态响应1系统的零输入响应是输入信号为零仅由系统的1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。0)()(')()()1()(tyatyatyatynn数学模型:0)()()()(011tyatyatyatyn求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式再由初始条件确定待定系数。再由初始条件确定待定系数。22[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:()5'()6()4f()0y(t)+5y'(t)+6y(t)=4f(t),t0系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，解系统的特征方程为y()y()求系统的零输入响应yx(t)。2解:系统的特征方程为0652ss3221ss，系统的特征根为21ttxKKty3221ee)(特征y(0)=yx(0)=K1+K2=1'(0)'(0)2K3K3解得K1=6，K2=50e5e6)(32ttytty'(0)=y'x(0)=2K13K2=30,e5e6)(ttyx23[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:(t)+4'(t)+4(t)2f'(t)+3f(t)t0y(t)+4y'(t)+4y(t)=2f'(t)+3f(t),t0系统的初始状态为y(0)=2，y'(0)=1，求系统的零输响应求系统的零输入响应yx(t)。解:系统的特征方程为0442ss221ss系统的特征根为（两相等实根）221ssttxtKKty2221ee)(系统的特征根为（两相等实根）y(0)=yx(0)=K1=1;()()解得K1=2,K2=3032)(22tty'(0)=y'x(0)=2K1+K2=30,e3e2)(22tttyttx24[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为：(t)+2'(t)+5(t)4f'(t)+3f(t)t0y(t)+2y'(t)+5y(t)=4f'(t)+3f(t),t0系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输响应系统的零输入响应yx(t)。解系统的特征方程为0522解:系统的特征方程为系统的特征根为0522ssj21j2121ss，jj21)2sin2cose)(21tKtKtytx（y(0)=yx(0)=K1=1解得K1=1，K2=2y'(0)=y'x(0)=K1+2K2=3解得120),2sin22(cose)(ttttytx2