【创新方案】2015高考数学(文)一轮演练知能检测：第3章 第6节 正弦定理和余弦定理]

第六节正弦定理和余弦定理[全盘巩固]1．已知△ABC，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶2，则此三角形的最大内角的度数是()A．60°B．90°C．120°D．135°解析：选B依题意和正弦定理知，a∶b∶c＝1∶1∶2，且c最大．设a＝k，b＝k，c＝2k(k＞0)，由余弦定理得，cosC＝k2＋k2－2k22k2＝0，又0°＜C＜180°，所以C＝90°.2．(2013·山东高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()A．23B．2C.2D．1解析：选B由已知及正弦定理得1sinA＝3sinB＝3sin2A＝32sinAcosA，所以cosA＝32，A＝30°.结合余弦定理得12＝(3)2＋c2－2c×3×32，整理得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，△ABC为等腰三角形，A＝C＝30°，B＝2A＝60°，不满足内角和定理，故c＝2.3．(2014·沈阳模拟)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析：选B由余弦定理得：(7)2＝22＋AB2－2×2AB·cos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin60°＝332.4．在△ABC中，若lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形解析：选D由条件得sinAcosBsinC＝2，即2cosBsinC＝sinA.由正、余弦定理得，2·a2＋c2－b22ac·c＝a，整理得c＝b，故△ABC为等腰三角形．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC等于()A.2B.3C.32D．2解析：选C∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.又a＝1，b＝3，∴asinA＝bsinB，∴sinA＝asinBb＝32×13＝12，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝12×1×3＝32.6．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinB·sinC，则A的取值范围是()A.0，π6B.π6，πC.0，π3D.π3，π解析：选C由已知及正弦定理，有a2≤b2＋c2－bc.而由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccosA，于是b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，可得cosA≥12.注意到在△ABC中，0＜A＜π，故A∈0，π3.7．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba＝________.解析：由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB·(sin2A＋cos2A)＝2sinA，所以sinB＝2sinA．所以ba＝sinBsinA＝2.答案：28．(2014·深圳模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝________.解析：由题意知sinA＝45，sinB＝1213，则sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5665，所以c＝bsinCsinB＝145.答案：1459．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则△ABC的周长的最大值为________．解析：由正弦定理得：BCsinA＝ABsinC＝ACsinB＝3sin60°，即BCsinA＝ABsinC＝2，则BC＝2sinA，AB＝2sinC，又△ABC的周长l＝BC＋AB＋AC＝2sinA＋2sinC＋3＝2sin(120°－C)＋2sinC＋3＝2sin120°cosC－2cos120°sinC＋2sinC＋3＝3cosC＋sinC＋2sinC＋3＝3cosC＋3sinC＋3＝3(3sinC＋cosC)＋3＝2332sinC＋12cosC＋3＝23sinC＋π6＋3.故△ABC的周长的最大值为33.答案：3310．(2013·浙江高考)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．解：(1)由2asinB＝3b及正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝32.因为A是锐角，所以A＝π3.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝283.由三角形面积公式S＝12bcsinA，得△ABC的面积为733.11．(2014·杭州模拟)设函数f(x)＝6cos2x－3sin2x(x∈R)．(1)求f(x)的最大值及最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，锐角A满足f(A)＝3－23，B＝π12，求a2＋b2－c2ab的值．解：(1)f(x)＝23cos2x＋π6＋3.故f(x)的最大值为23＋3，最小正周期T＝π.(2)由f(A)＝3－23，得23cos2A＋π6＋3＝3－23，故cos2A＋π6＝－1，又由0Aπ2，得π62A＋π6π＋π6，故2A＋π6＝π，解得A＝5π12.又B＝π12，∴C＝π2.∴a2＋b2－c2ab＝2cosC＝0.12．(2013·重庆高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝325，cosα＋Acosα＋Bcos2α＝25，求tanα的值．解：(1)因为a2＋b2＋2ab＝c2，由余弦定理有cosC＝a2＋b2－c22ab＝－2ab2ab＝－22.又0Cπ，故C＝3π4.(2)由题意得sinαsinA－cosαcosAsinαsinB－cosαcosBcos2α＝25.因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝25，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝25，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝25.①因为C＝3π4，所以A＋B＝π4，所以sin(A＋B)＝22，因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即325－sinAsinB＝22，解得sinAsinB＝325－22＝210.由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.[冲击名校]1．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB＝________.解析：∵ba＋ab＝6cosC，∴ba＋ab＝6·a2＋b2－c22ab，化简得a2＋b2＝32c2，则tanCtanA＋tanCtanB＝tanC·sinBcosA＋sinAcosBsinAsinB＝tanCsinA＋BsinAsinB＝sin2CcosCsinAsinB＝c2a2＋b2－c22ab·ab＝4.答案：42．(2013·福建高考)如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝22，点M在线段PQ上．(1)若OM＝5，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．解：(1)在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝5，OP＝22，由余弦定理，得OM2＝OP2＋PM2－2×OP×PM×cos45°，得PM2－4PM＋3＝0，解得PM＝1或PM＝3.(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得OMsin∠OPM＝OPsin∠OMP，所以OM＝OPsin45°sin45°＋α，同理ON＝OPsin45°sin75°＋α.故S△OMN＝12×OM×ON×sin∠MON＝14×OP2sin245°sin45°＋αsin75°＋α＝1sin45°＋αsin45°＋α＋30°＝1sin45°＋α32sin45°＋α＋12cos45°＋α＝132sin245°＋α＋12sin45°＋αcos45°＋α＝134[1－cos90°＋2α]＋14sin90°＋2α＝134＋34sin2α＋14cos2α＝134＋12sin2α＋30°.因为0°≤α≤60°，则30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－43.[高频滚动]1．已知sinx－siny＝－23，cosx－cosy＝23，且x，y为锐角，则tan(x－y)＝()A.2145B．－2145C．±2145D．±51428解析：选B∵sinx－siny＝－23，x，y为锐角，∴－π2＜x－y＜0，又sinx－siny＝－23，①cosx－cosy＝23，②①2＋②2，得2－2sinxsiny－2cosxcosy＝－232＋232，即2－2cos(x－y)＝89，得cos(x－y)＝59，又－π2＜x－y＜0，∴sin(x－y)＝－1－cos2x－y＝－1－592＝－2149，∴tan(x－y)＝sinx－ycosx－y＝－2145.2．设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．解析：因为α为锐角，cosα＋π6＝45，所以sinα＋π6＝35，sin2α＋π6＝2425，cos2α＋π6＝725，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6·cosπ4－cos2α＋π6·sinπ4＝17250.答案：17250