实验二 应用FFT对信号进行频谱分析

１实验二应用FFT对信号进行频谱分析一、实验目的1、加深对离散信号的DTFT和DFT的及其相互关系的理解。2、在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT算法及其程序的编写。3、熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。4、了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际应用中正确应用FFT。二、实验原理及方法一个连续信号的频谱可以用它的傅里叶变换表示为dtetxjXtjaa)()(^（2—1）如果对信号进行理想采样，可以得到采样序列：)()(nTXnxa（2—2）同样可以对该序列进行Z变换，其中T为采样周期nznxzX)()(（2—3）当Z=je的时候，我们就得到了序列的傅里叶变换njjenxeX)()(（2—4）其中成为数字频率，它和模拟频域的关系为sfT/（2—5）式中的sf是采样频率，上式说明数字频率是模拟频率对采样频率的归一化。同模拟域的情况相似，数字频率代表了序列值变化的速率，而序列的傅里叶变换称为序列的频谱。序列的傅里叶变换和对应的采样信号频谱具有下式的对应关系。)2(1)(TmjXTeXaj（2—6）即序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓。从上式可看出，只要分析采样序列的频谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。在各种信号序列中，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。无限长序列往往可以用有限长序列来逼近。对于有限长的序列我们可以用离散傅里叶变换（DFT），这一２变换可以很好的反映序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机中实现当序列长度是N时，我们定义离散傅里叶变换为10)]([)(NnknNWnxDFTkX（2—7）其中knNW=Nje2，它的反变换定义为：10)(1)]([)(NkknNWkXNkXIDFTnx（2—8）根据以上两式，令Z=Z=kNW，则有X（z）knWz=10)(NnknNWnx=DFT[x(n)]（2—9）可以得到X（k）=X(z)nJkNeWz2，kNW是Z平面单位圆上幅角为错误!未找到引用源。的点，就是将单位圆进行N等分以后第K个点。所以是Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅里叶变换的等距采样。时域采样在满足Nyquist定理时，就不会发生频谱混淆；同样地，在频率域进行采样的时候，只要采样间隔足够小，也不会发生时域序列的混淆。DFT时对序列傅里叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。在运用DFT进行频谱分析的时候可能有三种误差，分析如下：（1）混淆现象序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓，周期是，因此当采样速率不满足Nyquist定理，即采样频率小于两倍的信号频率时，经过采样就会发生频率混淆。这导致采样后的信号序列不能真实地反映原信号的频谱。所以，在利用DFT分析连续信号频谱的时候，必须注意一个问题。在确定信号的采样频率之前，需要对频谱的性质有所了解。在一般的情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样之前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。（2）泄漏现象实际中的信号序列往往很长，甚至是无限长序列。为了方便，我们往往用截短的序列来近似它们。这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析。这种截短等价于给原始信号序列乘以一个矩形窗函数，而矩形窗函数的频谱不是有限带宽的，从而它和原信号的频谱进行卷积以后会扩展原信号的频谱。值得一提的是，泄露是不能和混淆完全分离的，因为泄露导致频谱的扩展，从而造成混淆。为了减小泄露的影响，可以选择适当的窗函数是频谱的扩散减到最小。（3）栅栏效应因为DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数。这样就产生了栅栏效应，从某种角度来看，用DFT来观看频谱就好像通过一个栅栏来观看一幅景象，只能在离散点上看到真实的频谱。这样的话就会有一些频谱的峰点或谷点被“栅栏”挡住，不能被我们观察到。减小栅栏效应的一个方法是在源序列的末端补一些零值，从而变动DFT的点数。这种方法的实质是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了“栅栏”的位置，从而使得原来被挡住的一些峰点或谷点显露出来。３从上面的分析可以看出，DFT可以用于信号的频谱分析，但必须注意可能产生的误差，在应用过程中要尽可能减小和消除这些误差的影响。快速傅里叶变换FFT并不是与DFT不相同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。它是对变换式（2—7）进行一次次的分解，使其成为若干小点数DFT的组合，从而减小运算量。常用的FFT是以2为基数。它的运算效率高，程序比较简单，使用也十分方便。当需要进行变换的序列的长度不是2的整次方的时候，为了使用以2为基的FFT，可以用末位补零的方法，以使其长度延长至2的整数次方。三实验内容及步骤(一)编制实验用主程序及相应子程序1、高斯序列n=0:15;p=?;q=?;x=exp(-1*(n-p).^2/q);closeall;subplot(2,1,1);stem(x);title('高斯序列');subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x)));title('幅频特性');2、衰减正弦序列n=0:15;a=?;f=?;x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);closeall;subplot(2,1,1);stem(x);title('衰减正弦序列');subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x)));title('幅频特性');3、三角波序列fori=1:4x(i)=i;endfori=5:8x(i)=9-i;endcloseall;subplot(2,1,1);stem(x);title('三角波序列n=8')subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,8)));title('幅频特性n=8');4、反三角序列fori=1:4x(i)=5-i;endfori=5:8x(i)=i-4;endcloseall;subplot(2,1,1);stem(x);title('反三角序列n=16')subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16)));title('幅频特性n=16');４（二）上机实验内容1、观察高斯序列的时域和频域特性（1）固定信号xa(n)的参数p=8，改变q的值，使q分别等于2,4,8。观察它们的时域和幅频特性，了解q取不同值的时候，对信号时域特性和幅频特性的影响。n=0:15;p=8;q=2;x=exp(-1*(n-p).^2/q);closeall;subplot(3,2,1);stem(x);title('高斯序列xa(n)，p=8，q=2');subplot(3,2,2);stem(abs(fft(x)));title('幅频特性p=8，q=2');p=8;q=4;x=exp(-1*(n-p).^2/q);subplot(3,2,3);stem(x);title('高斯序列xa(n)，p=8，q=4');subplot(3,2,4);stem(abs(fft(x)));title('幅频特性p=8，q=4');p=8;q=8;x=exp(-1*(n-p).^2/q);subplot(3,2,5);stem(x);title('高斯序列xa(n)，p=8，q=8');subplot(3,2,6);stem(abs(fft(x)));title('幅频特性p=8，q=8');５（2）固定q=8，改变p，使p分别等于8,13,14，观察参数p变化对信号序列时域及幅频特性的影响。注意p等于多少时，会发生明显的泄露现象，绘制相应的时域序列和幅频特性曲线。n=0:15;p=8;q=8;x=exp(-1*(n-p).^2/q);closeall;subplot(3,2,1);stem(x);title('高斯序列xa(n)，p=8，q=8');subplot(3,2,2);stem(abs(fft(x)));title('幅频特性p=8，q=8');p=13;q=8;x=exp(-1*(n-p).^2/q);subplot(3,2,3);stem(x);title('高斯序列xa(n)，p=13，q=8');subplot(3,2,4);stem(abs(fft(x)));title('幅频特性p=13，q=8');p=14;q=8;x=exp(-1*(n-p).^2/q);subplot(3,2,5);stem(x);title('高斯序列xa(n)，p=14，q=8');subplot(3,2,6);stem(abs(fft(x)));title('幅频特性p=14，q=8');６2、观察衰减正弦序列的时域和幅频特性（1）令a=0.1，并且f=0.0625，检查谱峰出现的位置是否正确，注意谱峰的形状，绘制幅频特性曲线。n=0:15;a=0.1;f=0.0625;x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);closeall;subplot(2,1,1);stem(x);title('衰减正弦序列xb(n)，a=0.1，f=0.0625');subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x)));title('幅频特性a=0.1，f=0.0625');７（2）改变f=0.4375,再变化f=0.5625,观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现的位置，有无混淆和泄露现象发生？说明产生现象的原因。f=0.4375;x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);subplot(2,1,1);stem(x);title('衰减正弦序列xb(n)，a=0.1，f=0.4375');subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x)));title('幅频特性a=0.1，f=0.4375');８f=0.5625;x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);subplot(2,1,1);stem(x);title('衰减正弦序列xb(n)，a=0.1，f=0.5625');subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x)));title('幅频特性a=0.1，f=0.5625');９3、观察三角波序列和反三角波序列的时域和幅频特性（1）用8点FFT分析信号xc(n)和xd(n)的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？绘制两者的序列和幅频特性曲线。fori=1:4x(i)=i;endfori=5:8x(i)=9-i;endcloseall;subplot(2,1,1);stem(x);title('三角波序列xc(n)，n=8')subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,8)));title('幅频特性n=8');１０fori=1:4x(i)=5-i;endfori=5:8x(i)=i-4;endcloseall;subplot(2,1,1);stem(x);title('反三角序列xd(n)，n=8')subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,8)));title('幅频特性n=8');１１（2）在xc(n)和xd(n)末尾补零，用16点FFT分析这两个信号的幅频特性，观察幅频特性发生了什么变化？两个信号之间的FFT频谱还有没有相同之处？这些变化说明了什么？fori=1:8x(i)=i;endfori=9:16x(i)=17-i;endcloseall;subplot(2,1,1);stem(x);title('三角波序列xc(n)，n=16')subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16)));title('幅频特性n=16');１２fori=1:8x(i)=9-i;endfori=9:16x(i)=i-8;endcloseall;subplot(2,1,1);stem(x);title('反三角序列xd(n)，n=16')