数学分析(华东师大版)上第八章8-3

返回后页前页§3有理函数和可化为一、有理函数的部分分式分解本节给出了求有理函数等有关类型的四、某些无理函数的不定积分三、三角函数有理式的不定积分二、有理真分式的递推公式有理函数的不定积分不定积分的方法与步骤.返回返回后页前页101101()()()nnnmmmxxPxRxQxxx有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数,一、有理函数的部分分式分解mn时称为真分式,m≤n时称为假分式.假分式可化为一个多项式和一个真分式之和.00(0,0),其一般形式为:返回后页前页1.对分母Q(x)在实数系内作标准分解:1122111()()()()(),ststtQxxaxaxpxqxpxq240,1,2,,.jjpqjt+11,N,2,stijijijm其中且2.根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下:真分式又可化为22)(qpxxCxBii()iiAxa与之和,其()kxa式.对应于的部分分式是返回后页前页.)()(221kkaxAaxAaxA,)()(22222211kkkqpxxCxBqpxxCxBqpxxCxB把所有部分分式加起来,使之等于Q(x),由此确定对应于kqpxx)(2的部分分式是上述部分分式中的待定系数Ai,Bi,Ci.返回后页前页3.确定待定系数的方法把所有分式通分相加,所得分式的分子与原分子分式分解.组,由此解出待定系数.必定相等的原则,得到待定系数所满足的线性方程P(x)应该相等.根据两个多项式相等时同次项系数例1432543224910()5248xxxxRxxxxxx对作部分返回后页前页22201(2)(1)(2)(2)(1)AxxxAxxxx5432()5248Qxxxxxx因为解01222(),22(2)1AAABxCRxxxxxx所以(),Qx两边乘以得到).1()2)(2(22xxxx43224910xxxx222(2)(1)()(2)(2).AxxxBxCxx返回后页前页比较同次项系数,得到线性方程组401301220121201223213342443849442810AABxAAABCxAAABCxAABCxAAAC的系数的系数的系数的系数常数项解得.1,1,1,2,1210CBAAA.11)2(12221)(22xxxxxxxR于是完成了R(x)的部分分式分解:返回后页前页任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形d(i);()kxxa22(ii)d(40).()kLxMxpqxpxq二、有理真分式的递推公式1ln||,1,d(i)1,1.()(1)()kkxaCkxCkxakxa下面解这两类积分.式的不定积分之和：返回后页前页2222dd.()()kkttLtNtrtr1,k时22d1arctan.ttCtrrr222dd()()kkLxMLtNxtxpxqtr22221dln(),2tttrCtr(ii),2ptx令22,,42ppLrqNM则返回后页前页2222222211d()1d.()2()2(1)()kkkttrtCtrtrktr22d,()kktItr记则2222221()d()kktrtItrtr21222211d()kktItrrtr2,k时返回后页前页112222111.2(1)()kkktIIrrktr122221111d2(1)()kkItrrktr12221223,2(1)()2(1)kkktkIIrktrrk解得2,3,.k返回后页前页.1d)1()2(d2d22d22xxxxxxxxxx432543224910d5248xxxxxxxxxx解由例1,xxxxIxxxxxx432543224910d.5248求=例2其中2(1)d1xxxx2221d(1)11d2121xxxxxxx返回后页前页211221ln|1|arctan.2233xxxC22211dln|1|221322xxxx于是121arctan.33xC211ln|2|ln|2|ln|1|22Ixxxxx返回后页前页.d)22(1222xxxx求例3解由于222222)22()12(22)22(1xxxxxxxx,)22(12221222xxxxx122dd(1)arctan(1),22(1)1xxxCxxx而返回后页前页.)1(d221222ttxx22222d22d(1)(22)(1)1xxxxxx222221(22)1dd(22)(22)xxxxxxxx2211arctan(1),2(22)2xxCxx2222d1d2(1)2(1)1tttttt由递推公式返回后页前页222213d(22)2(22)xxxxxxx于是3arctan(1).2xC返回后页前页sinx,cosx及常数经过有限次四则运算得到的函三、三角函数有理式的不定积分tan,(sin,cos)d2xtRxxx通过变换可把化为有理函数的不定积分.把,122tan12tan22cos2sin2cos2sin2sin2222ttxxxxxxx数R(sinx,cosx)称为三角函数有理式.返回后页前页,112tan12tan12cos2sin2sin2coscos22222222ttxxxxxxx22dd(2arctan)d1xttt2222212(sin,cos)d,d.111ttRxxxRtttt代入原积分式，得到返回后页前页d.1sincosxxx求例4tan,2xt令则解d1sincosxxx22222d121111ttttttdln1ln1tan.12txtCCt返回后页前页对三角函数有理式的不定积分,在某些条件下还可(iii)(,)(,),tan.RuvRuvtx若可作变换(i)(,)(,),cos;RuvRuvtx若可作变换(ii)(,)(,),sin;RuvRuvtx若可作变换?为什么以上变换可使不定积分简化(i),R若满足条件由代数学知识可知,存在有理函0,R数使得选用如下三种变换,使不定积分简化.返回后页前页因此20(1cos,cos)d(cos)Rxxx20(,)(,).RuvRuvu0(ii),,RR若满足条件则存在有理函数使得20(,)(,).RuvRuvv类似可得20(1,)d.Rttt20(sin,cos)d(sin,cos)sindRxxxRxxxx返回后页前页20(sin,cos)d(sin,cos)cosdRxxxRxxxx20(sin,1sin)d(sin)Rxxx0(iii),,RR若满足条件则存在有理函数使得0(,),,.uuRuvRvvRvvv0,uRvv而满足000,,(,),.uuuRvRvRuvRvvvv20(,1)d.Rttt返回后页前页1(,),Ruv同样由代数学知识,存在有理函数使得201,,,uuRvRvvv21(sin,cos)d(tan,cos)dRxxxRxxx1221d(tan)tan,1tan1tanxRxxx因此1221d,.11tRttt返回后页前页则因此可设,cosxt22sin2sincosd2dsin2cossin2cosxxxxxxxxx22cosd2dcos212coscos12xttxxxtt.dcos2sin2sin2xxxx求例522sin22sincos(i),sin2cossin2cosxxxxxxx由于满足情形解返回后页前页2222222d(12)2dd12122(1)tttttttttt2121ln12ln221tttCt2121cosln12coscosln.221cosxxxCx返回后页前页222222222d1secdsincostanxxxbaxbxaxa22221d(tan)1arctantantanxaaxCbbaabxa1arctantan.axCabb.)0(,cossind2222abxbxax求例6tan,tx因此可设解(iii),由于被积函数满足情形返回后页前页1.(,)d(0)naxbRxxcxdadbc型不定积分,.naxbtcxd令可化为有理函数的积分四、某些无理函数的不定积分.)2()1(d32xxx求例7解由于32321(1)(2)(2),2xxxxx返回后页前页3233321129,,dd.21(1)xtttxxtxtt因此令则3232d312dd111(1)(2)xtttttttxx221123dln1d2121324ttttttt2112ln1ln(1)3arctan23ttttC返回后页前页333ln212xx.)1(d43xxx求例8443dd.1(1)xxxxxxx解3323123arctan.32xxCx返回后页前页34442114d,,d,1(1)xtttxxxtt设则244d4d11xtttxxx22112d11ttt1ln2arctan1ttCt444111ln2arctan.11xxxCxxx返回后页前页型不定积分22.(,)dRxaxbxcx22224(),124bacbaxbxcaxaa由方于法,44,2222abackabxu若记2axbxc则化为222222(i)(),(ii)(),(iii)().aukaukaku或或时也可直接化为有理函数的不定积分.可用多种方法化为三角函数有理式的不定积分,有返回后页前页因此可分别设把它们转化为三角函数有理式的不定积分.(ii)sec;ukt(iii)sin.ukt(i)tan;ukt方法2(欧拉变换)2(a)0,;aaxbxctax若令2(b)0,;caxbxcxtc若令2(c),,axbxc若有两个不同实根令).(2xtcbxax返回后页前页.32d2xxxx求例9解用方法1:221dd(1)4(1)4xuxuxxuu2sec2sectandd(2sec1)2tan2cosu2d23xxxx返回后页前页22222tan221d