人教版-高中数学【选修2-3】2.1.2-离散型随机变量的分布列习题课

人教版高中数学精品资料选修2-3第二章2.12.1.2第2课时一、选择题1．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1、2、…，则P(2＜X≤4)＝()A．316B．14C．116D．516[答案]A[解析]P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.2．某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A．0.28B．0.88C．0.79D．0.51[答案]C[解析]P(ξ7)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(ξ＝2)＝()A．19B．16C．13D．14[答案]C[解析]由离散型随机变量分布列的性质知12a＋22a＋32a＝1，∴62a＝1，即a＝3，∴P(ξ＝2)＝1a＝13.4．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是()A．1120B．724C．710D．37[答案]B[解析]P＝C37·C03C310＝724.5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的球的最大号码；②Y表示取出的球的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③④[答案]B[解析]依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．6．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是()A．15B．14C．25D．35[答案]C[解析]P＝2A44A55＝25.二、填空题7．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为：ξ012P[答案]1535158．随机变量ξ的分布列为：ξ012345P192157458451529则ξ为奇数的概率为________．[答案]8159．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______．[答案]56[解析]从10名同学中选出3名同学有C310种不同选法，在3名同学中没有女同学的选法有C36种，∴所求概率为P＝1－C36C310＝56.三、解答题10．(2014·福州模拟)某学院为了调查本校学生2013年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列．[解析](1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)随机变量Y的所有可能取值为0、1、2.P(Y＝0)＝C230C240＝2952；P(Y＝1)＝C110C130C240＝513；P(Y＝2)＝C210C240＝352.所以Y的分布列为：Y012P2952513352一、选择题11．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝ckk＋1，k＝1、2、3、4，其中c是常数，则P12＜ξ＜52则值为()A．23B．34C．45D．56[答案]D[解析]c1×2＋c2×3＋c3×4＋c4×5＝c1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45c＝1.∴c＝54.∴P12＜ξ＜52＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝5411×2＋12×3＝56.12．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数y＝23mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是()A．12B．56C．34D．23[答案]B[解析]由题可知，函数y＝23mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y′＝2mx2－n≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y＝23mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为P＝3036＝56，故选B.13．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为()A．10%B．20%C．30%D．40%[答案]B[解析]设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝C1x·C110－xC210＝x10－x45＝1645，∴x＝2或8.∵次品率不超过40%，∴x＝2，∴次品率为210＝20%.二、填空题14．已知离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝k15，k＝1、2、3、4、5，令Y＝2X－2，则P(Y0)＝________.[答案]1415[解析]由已知Y取值为0、2、4、6、8，且P(Y＝0)＝115，P(Y＝2)＝215，P(Y＝4)＝315＝15，P(Y＝6)＝415，P(Y＝8)＝515.则P(Y0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝1415.15．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P(ξ＞1)＝________.[答案]12[解析]依题意，P(ξ＝1)＝2P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝12P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)，由分布列性质得1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)，4P(ξ＝2)＝1，∴P(ξ＝2)＝14，P(ξ＝3)＝18.∴P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝12.三、解答题16．盒子中装着标有数字1、2、3、4、5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；(2)随机变量ξ的概率分布．[解析](1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.(2)由题意ξ可能的取值为2、3、4、5，P(ξ＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130，P(ξ＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215，P(ξ＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310，P(ξ＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.所以随机变量ξ的分布列为：ξ2345P13021531081517.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m、n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．[解析]本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、化归与转化思想．解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列．(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m、n∈Z，m、n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2、－1、0、1、2、3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0、1、4、9.且有P(ξ＝0)＝16，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为：ξ0149P16131316