第1章-MIU模型

1货币理论与政策第一部分货币为什么具有价值OLG模型（Samuelson1958）：货币可以跨期转移资源。MIU模型（money-in-the-utilityfunction,Sidrauski,1967）：u(c,m)：将货币引入效用函数，即货币可以产生效用。CIA模型（cash-in-advance）/购物时间模型（shopping-timemodel）：货币的交易中介作用OLG模型的基本思想：Jensen不等式：Eu(X)u(EX)。两期模型：每期都有老年人和年轻人，每个人只能存活2期。两类人的禀赋分别为0.7和0.3。市场出清。是否存在某种货币机制使得消费流变为(0.5,0,5)？第1章MIU模型第1节确定性MIU模型1、模型代表性个体（家庭）最大化终身效用水平，0max(,)ttttucm经济中的总预算约束为1111(1)(1)tttttttttttttttiBMMBYNKCKPPPP，其中tY为总产出，1tK为t期初的总资本存量，ttN为总转移支付，tN为人口数（就业人数）。方程的左边是资源的来源，方程的右边是资源的分配。生产函数为1(,)tttYFKN若假定生产函数为常数规模收益型的生产函数，则11111111(,)(,1)(,1)(,1)1()1ttttttttttttttYyFKNNNKFNKNFNNkFnkfn此处，常数11ttNnN为劳动的增长速度。假定：0,0kkkff，Inada条件：0lim(),lim()0kkkkfkfk。2预算约束两边除以tN，就得到代表性个体的人均形式的预算约束方程11111(1)1()11(1)(1)ttttttttttttkibmfkckmbnnn此处，1,,1tttttttttttBMPbmPNPNP分别为人均实际债券、人均实际货币数量和通货膨胀率。代表性个体的值函数()tV定义为最优使用t所得到的效用水平。贝尔曼方程为1()max{(,)()}ttttVucmV预算约束为11111(1)1()11(1)(1)ttttttttttttkibmfkckmbnnn使用预算约束，替换tc和1t，得到无约束的贝尔曼方程,,11()max{(,)(1)1[()]}11(1)(1tttttttttkmbttttttVukmbmkimVfknnn引理（包络定理）：()max(,)xVafxa，()xa为最优解，()((),)Vafxaa()((),)()((),)dVafxaaxafxaadaxaaFOC＝((),)0fxaax＝()()((),)(,)|xxadVafxaafxadaaa各个控制变量的一阶条件为:tk()[()1]()11tckkutfVtnn:tb11()(1)(1)(1)tctiutVtn:tm11()()(1)(1)(1)cmtututVtn对状态变量使用包络定理，有()()cVtut前两个一阶条件的资产定价含义：将包络定理所得到的方程代入第一个和第二个一阶条件，得到()[()1](1)11tckckutfutnn11()(1)(1)(1)tcctiututn3第三个一阶条件的含义：将包络定理所得到的方程代入第三个一阶条件，得到11()()(1)(1)(1)cmctutututn左边是持有一单位实际余额（货币），减少一单位消费品所减少的效用。右边是持有一单位货币所增加的效用()mut，加上这一单位货币可以购买的下一期的消费品（数量为11/[(1)(1)]tn）所产生的效用的贴现值1(1)/(1)(1)ctutn。将方程（）和（）合并，得到11()(1)11()(1)(1)()11(1)(1)1mcctcttttutututnutiri此处111()111tttktkirfn是资本的实际收益率。我们知道，12max(,)uxx，s.t.11221pxpx有1212//MUMUpp，即边际效用之比等于价格之比。因此，货币和消费品的价格之比为/(1)ttii。Fisher等式：合并方程（）和（）可得Fisher等式1(1)(1)(1)tttir2、稳态假定10,1/tttnMM，上标ss表示稳态中的变量的取值。在均衡中0b，并且由于ttttttMMmPNPN在稳态中为常数，因此tP的增长率ss等于tM的增长率。政府预算平衡：收入＝支出（转移支付），即政府将发行货币所得转移支付给家庭，1tttttMMNP稳态中一阶条件和预算约束记为(,)[()1]()ssssssssckucmfkV1(,)()1sssssssscssiucmV1(,)(,)()1sssssssssscmssucmucmV()(1)1ssssssssssssssssmfkkckm此处()(1)1ssssssssssssmfkk。以上模型具有货币中性（neutralityofmoney）：货币只以实际货币余额（m）的形式出现。因此，名义货币M和价格水平P变化相同比例，使得m不变，从而对经济的均衡没有影响。4稳态的显示解：稳态资本：合并方程（）和（），可得1()1sskfk注意到稳态中的资本－劳动比例只依赖于生产函数，效用贴现因子和资本折旧率，与效用函数和通货膨胀率无关。代入Cobb－Douglas生产函数()fkk，那么有11()1ssk即111(1)ssk稳态消费：11ttttttttMMMNPP111111111111tttttttttttttttttttMMPMNPNPPNPm1ssssssssm代入预算约束方程，有111()1(1)1(1)sssssscfkk注意，稳态消费依赖于生产函数、折旧率和效用贴现因子。货币超币性（super-neutralityofmoney）：稳态中资本－劳动比例、消费和产出都依赖于通货膨胀率。注意：SidrauskiMIU模型既具有货币中性，又具有货币超中性。3、从货币需求的利率弹性导出效用函数本小节将要解释如下问题：如何确定稳态中货币的数量？为什么要使用复杂的CES型效用函数？事实上，这两个问题是联系在一起的。虽然稳态消费和稳态资本－劳动比例不依赖于效用函数，但是稳态中的最优货币持有数量依赖于家庭的效用函数（偏好结构）。回顾(,)(,)1mtttctttucmiucmi假定家庭的效用函数是CES型的（constantelasticityofsubstitution）51111(,)[(1)],01,0,1bbbttttucmacamabb1111111111log[]1log[]11log[(1)]1100lim(,)lim[(1)]limlimexp{lim}log[(1)]exp{lim}1[(log)(1)(log)][]exp{lim}1(exp[bbbttbbbttttbbbbbacambbxxttxxxttttxucmacameeacamxaccamma1log)(1)(log)]1ttaattcamaacm下面说明为什么采用较为复杂的CES效用函数：将CES效用函数代入货币与消费的边际效用之比，得到11bmttcttuciauami从而，货币的最优持有量为1111bbttttiamcai也可以表示为货币－消费比的形式1111bbttttttmMiacCai或者记为111loglog()loglog()1ttttttMiacPNbabi因此，货币需求的消费（收入）弹性等于1。货币需求的利率弹性为1112112111111(1)111111bbtttttttttbbttttttttmiiiaciimabiiacaiiiibibib6如果b＝1，那么，货币需求的消费（收入）弹性和利率弹性都应该为1。货币需求的经验证据：1b。在稳态中，由欧拉方程可知1(1)ssr，因此11(1)(1)(1)ssssssssir代入货币－消费比，有11111ssssbbssssmacam货币为什么具有价值：由1(1)()()(1)(1)cmctutututn取n＝0，并使用()()cutVt有11(1)()()/(1)()mttmttVtVtutPPVtutPP两边除以tP，有1()()(1)mtttVtutVtPPP不断递推，有0()()imittiVtutiPP注意到(,)()()tititimtitimtiucmmutiMMutiP因此，0()(,)ititiittiVtucmPM方程左边：增加持有1单位名义货币，会减少1tP的t时财富，所减少的效用为()tVtP。方程右边：永久持有这一单位名义货币，所增加的效用的总和。注意到：若所有的()0muti，也就是货币不进入到效用函数中去，那么有()0tVtP，从而tP，这意味着货币没有价值。而若()0muti，则tP，即货币具有价值。7第2节随机性MIU模型1、模型生产函数为1(,,)ttttyfknz。经济中的不确定性来自于货币供给速度和生产冲击tz的随机性。代表性个体（家庭）0max(,,1)ititititiEucmn预算约束方程不变。关于状态变量的选取：回顾在确定性CIA模型中，状态变量为111111(1)11tttttttttiykbm由于现在的t通过ty依赖于tn，所以t不再适合于作状态变量。现在取状态变量为1,ttak，其中ta定义为家庭的实际金融财富加上转移支付，即1111111tttttttiabm家庭的优化问题可用贝尔曼方程描述为11,,,,(,)max(,,1)(,)tttttttttttttcmbknVakucmnEVaks.t.11(,,)(1)tttttttttfknzkackbm11111111tttttttiabm求解一阶条件：使用第一个约束条件求解出控制变量tc代入效用函数并消去tc，使用第二个约束条件求解出下一期状态变量1ta代入下一期的值函数并消去1ta，得到如下的无约束贝尔曼方程：111,,,111(,)max{((,,)(1),,1)1(,)11ttttttttttttttttmnkbttttttttVakufknzkakbmmnimEVbk关于各个控制变量的一阶条件为11:()()[(1)]1tcmtatmututEVt（*1）:()()()tcnlnutftut（*2）:()(1)tctkk