电子科技大学-随机过程-覃思义-第二章sjgc2.4

随机过程的基本类型电子科技大学§2.4随机过程的基本类型定义2.4.1对已给（复或实）随机过程{Xt,t∈T}，若对任意的t∈T，均有E[|Xt|2]+∞,则称{Xt,t∈T}是二阶矩随机过程，简称二阶过程。一、随机过程的基本类型随机过程的基本类型电子科技大学定理2.4.1设随机过程{Xt,t∈T}是二阶矩随机过程，则其自相关函数满足下列性质（1）非负性对任意的n≥1及t1,t2,…,tn∈T,对任意的q(t),t∈T,有0)()(),(11jknknjjkttttRqq（2）埃密特对称性(共轭对称性)，即),(),(stRtsR随机过程的基本类型电子科技大学定义2.4.2对任意的正整数n及任意的,,,,21Ttttn二、独立过程TttX),(为独立过程.相互独立,称随机过程随机变量))(,),(),((21ntXtXtX随机过程的基本类型电子科技大学独立随机过程的有限维分布由一维分布确定注nkkkknnnxtFxxttF111);(),,;,,(Ex.1高斯白噪声实值时间序列的NnnX),(,)][(0,)}({2nXDnXE自相关函数为20,;(,),.mnRmnmn称为离散白噪声(序列).NnnX),(两两不相关序列.电子科技大学又若X(n)都服从正态分布,称是高斯白噪声序列.NnnX),(对于n维正态随机变量有相互独立不相关故高斯白噪声序列是独立时间序列.若过程是正态过程,且RttX),(,0)(tXEtstststsR,0,)(δ),(2随机过程的基本类型电子科技大学高斯白噪声是典型的随机干扰数学模型,普遍存在于电流的波动,通信设备各部分的波动,电子发射的波动等各种波动现象中.称其为高斯白噪声过程，它是独立过程.如金融、电子工程中常用的线性模型—自回归模型（AR(p)）tptpttXXX11理想模型要求残差序列εt是(高斯)白噪声.随机过程的基本类型电子科技大学电子科技大学三、独立增量过程定义2.4.3称,T=[0,∞)为独立增量过程,若对,及t0=0t1t2…tn,增量序列TttX),(2nX(t1)-X(0),X(t2)-X(t1),…,X(tn)-X(tn-1)相互独立.0t1t2…tn－1tn电子科技大学注不失一般性,设X(0)=0或P{X(0)=0}=1.有X(t1),X(t2)－X(t1),…,X(tn)－X(tn－1)相互独立.定义2.4.4若独立增量过程{X(t),t≥0}对,,Tts及h0,X(t+h)－X(s+h)与X(t)－X(s)有相同的分布函数,称{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程.0tss+ht+h电子科技大学增量的分布仅与τ有关,与起始点t无关,称{X(t),t≥0}的增量具有平稳性(齐性).)()τ(tXtX注Ex.2若{X(n),n∈N+}是独立时间序列,令nkXkXnY00)0(,)()(则{Y(n),n∈N+}是独立增量过程.又若X(n),n=1,2,…相互独立同分布,则{Y(n),n∈N+}是平稳独立增量过程.电子科技大学证若n1n2…nm210012)()()()(nknkkXkXnYnY)()1(21nXnX)()1()()(3223nXnXnYnY)()1()()(11mmmmnXnXnYnY{X(n),n∈N+}相互独立各增量相互独立.电子科技大学性质2.4.2{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程,X(0)=0,则1）均值函数m(t)=mt(m为常数);2）方差函数D(t)=σ2t(σ为常数);3）协方差函数C(s,t)=σ2min(s,t).分析因均值函数和方差函数满足,)()()(tmsmtsm)()()(tDsDtsD见讲义P22随机过程的基本类型电子科技大学命题：若),()()(tysytsy.(1))(tyty可证得1)和2).则对任意实数t,有}])()()][()({[),(smsXtmtXEtsC证3))()(])()([tmsmsXtXE)()(})(])()()({[tmsmsXsXsXtXEX(t)-X(s)与X(s)相互独立.stmsXEsXEsXtXE22)]([})]([)]()([{电子科技大学)()(2222ststmsmsmsstm一般,C(s,t)=σ2min(s,t).性质2.4.3独立增量过程的有限维分布由一维分布和增量分布确定.分析对于独立增量过程{X(t),t≥0},任取的t1t2…tn∈T,Y1=X(t1),Y2=X(t2)－X(t1),…,Yn=X(tn)－X(tn-1)相互独立性,利用特征函数法可证明结论.证明见讲义P22电子科技大学注1对于独立增量过程{X(t),t∈T=[a,b]},又若10})({aXP根据X(t)的增量分布即可确定有限维分布.注2对于平稳独立增量过程{X(t),t∈[a,b]},又若分析因对任意t∈T，X(t)=X(t)－X(a)，由增量分布确定了一维分布.10})({aXP根据X(t)的一维分布即可确定有限维分布.随机过程的基本类型电子科技大学分析因增量X(t2)－X(t1)与X(t2－t1+a)=X(t2－t1+a)－X(a)同分布.四、不相关增量过程与正交增量过程定义2.4.5设随机过程,若对t∈T，存在，若对t1t2t3t4∈T，满足TttX),(])([2tXE称过程为不相关增量过程.})]()([)]()({[3412tXtXtXtXE)]()([)]()([3412tXtXEtXtXE随机过程的基本类型电子科技大学0})]()([)]()({[3412tXtXtXtXE若称过程为正交增量过程.思考题：1.白噪声过程是否一定是独立过程？2.独立过程是否是独立增量过程？反之？