电子科技大学-随机过程-覃思义-第二章sjgc2.3

电子科技大学随机过程的数字特征§2.3随机过程的数字特征在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性质.一、均值函数、方差函数及相关函数定义2.3.1给定随机过程,称TttXXT),(TtxtxdFtXEtm,);(])([ˆ)(为过程XT的均值函数.需确定各类数字特征随时间的变化规律.电子科技大学定义2.3.2给定随机过程,称TttXXT),(2)()()(ˆ)(tmtXEtXDtD为过程XT的方差函数.称为过程XT的均方差函数.为描述不同时刻过程状态的关联关系.)]()()][()([)(),(ˆ),(tmtXsmsXEtXsXCovtsC为过程XT的协方差函数.定义2.3.3给定随机过程,称TttXXT),()(tD电子科技大学2)]()([),()(tmtXEttCtD)()())()((),(tmsmsXtXEtsC有定义2.3.4给定随机过程,称TttXXT),()]()([ˆ),(tXsXEtsR为过程XT的自相关函数.(,)(,)()()CstRstmsmt有重点研究内容特别当时0)(tmXT是零均值过程),(),(tsRtsC电子科技大学称为过程XT的自相关系数函数.Ex.1设p,q是两个随机变量,构成随机过程RTtqtptX,)(均值函数为,)()()]([)(tqEpEtXEtm自相关函数为见P13例1.)(σ)(σ),(ˆ),(tstsCts电子科技大学}))({(),(qtpqspEtsR222[][]()[],(,).EpEpqstEqststREx.2利用抛硬币的试验定义一个随机过程..2,cos)(21RttttX出现反面；出现正面求该过程的均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数.解因对任意实数t∈R,有电子科技大学X(t)cost2tp1/21/2;cos21))(()(XtttXEtm;2cos21))((222tttXE2221()[()][m()](cos);2XXDtEXtttt注意X(s)与X(t)不相互独立,联合分布律为电子科技大学(X(t),X(s))(cost,coss)(2t,2s)p1/21/2ststtXsXEtsRX2221coscos21)]()([),(.2coscos21tsstEx.3设随机过程)cos()(tAtX电子科技大学其中β是正常数,随机变量A与Θ相互独立,A～N(0,1),Θ～U(0,2π).试求过程的均值函数和相关函数.解)]cos([))(()(βtAEtXEtmX;0)][cos()(βtEAE)]cos()cos([)]()([),(2stAEtXsXEtsRX电子科技大学随机过程的数字特征2π0d)θ(cos)θ(cos2π1θβsβt2π0)2)((cos)(cos[4π1dθθstβstβ).(cos21stβ随机变量函数的数学期望公式)]cos()cos([)(2βsβtEAE电子科技大学随机过程的数字特征思考题：为什么说随机过程的均值函数和自相关函数在研究过程的概率与统计特性尤其重要?电子科技大学复随机过程二、复随机过程定义2.3.5设和为两个实随机过程，称TttX),(TttY),(()()(),,ˆZtXtiYttT为复随机过程.1i复随机过程的均值函数为TttZ),(ˆ[()][()],;ZmtEXtiEYttT方差函数为,)()(})()({ˆ)(2ZtDtDtmtZEtDYXZ电子科技大学复随机过程2)()(tmtZZ2)]()([)]()([tmtYitmtXYX22)]()([)]()([tmtYtmtXYX自相关函数为,[()()];ˆZRstEZsZt自协方差函数为(,)Cov((),())ZCstZsZtZ{[()()][()()]}.ZEZsmsZtmt电子科技大学复随机过程Ex.4设复随机过程,)(1nktikkeAtZ其中为相互独立服从正态N(0,σk2)的实随机变量,ωk为常数,试求mZ(t),RZ(t1,t2).nkAk,2,1,解nkkkknktiktitAeAtZk11)sin(cos)(nknkkkkktAitA11sincos电子科技大学复随机过程0]sin[]cos[))((11nknkkkkktAEitAEtZE22)(,2,1,kkkAEnkA相互独立，且因))([(])()([),(11212121nktiknktikZkkeAeAEtZtZEttR12()11[]klnnittklklEAAenkttikkeAE1)(221)(nkttikke1)(221nkkkkttitt121212)(sin)((cos电子科技大学多维随机过程三、多维随机过程的互相关函数类似于多维随机向量的概念，实际问题中常需要研究多维随机过程.在自动控制、通信工程、机械振动、无线电等各电子工程领域的各类系统中，需要研究输入过程与输出过程间的相互关系，分析其整体统计特性.电子科技大学多维随机过程定义2.3.6设给定概率空间(Ω,F,P)和指标集T,若对每个t∈T,有定义在(Ω,F,P)上的随机向量）ω，，ω，ω)()()(()()2()1(ntttXXXω∈Ω与之对应.},)()()({()()2()1(TtXXXnttt）ω，，ω，ω为n维随机过程.称电子科技大学多维随机过程定义2.3.7设{Xt,t∈T}和{Yt,t∈T}是两个随机过程.对任意ti,sj∈T,i=1,2,…n,j=1,2,…m.将n+m维随机向量(Xt1,Xt2,…,Xtn,Ys1,Ys2,…,Ysm)的联合分函数},...,,,,...,{),...,,,...,(21112121,...,,,...,21212121nsssntttmnssstttyYyYyYxXxXxXPyyyxxxFnnmn称为随机过程{Xt,t∈T}和{Yt,t∈T}的n+m维联合分布函数。电子科技大学多维随机过程])()([),(2121tZsZEtsRZZ定义2.3.8设和是两个复随机过程,TttZ,1TttZ,2它们的互相关函数定义为互协方差函数为1212(,)Cov[(),()]ZZCstZsZt]})()()][()({[2121tmtZsmsZEZZEx.4已知实随机过程X(t)具有自相关函数R(s,t),令Y(t)=X(t+a)－X(t)求RYY(s,t).电子科技大学多维随机过程解先求出X(t)与Y(t)的互相关函数)]}()()[({)]()([),(tXatXsXEtYsXEtsRXY)1(),(),(tsRatsR)}()]()({[),(tYsXasXEtsRYY(,)(,)(2)XYXYRsatRst将(1)式代入(2)式,得),(),(),(),(),(tsRatsRtasRatasRtsRYY取s=t,则有2(,){[()()]}YYRttEXtaXt电子科技大学多维随机过程Ex.5已知两个随机相位过程2,1,0)cos()(itΘtXiit，其中随机变量Θ～U[0,2]，求它们的互相关函数。解：)]cos()[cos(),(21ΘtωΘsωEtsRπduutusπ2021)cos()cos(21πduutstsπ202121)2cos()cos(41)cos(2121tωsω电子科技大学随机过程的分类四、随机过程的分类1.按状态空间和参数集进行分类1)T,E均为可列集;2)T是可列集,E不可列;3)T不可列,E为可列集;4)T,E均不可列.TttXXT),(电子科技大学随机过程的分类当T为可列集,称为离散参数随机过程,随机序列,时间序列.当E为可列(或有限)集,称为离散状态随机过程.2.按概率结构进行分类1)二阶矩过程若过程对每一个,的二阶矩都存在.TttXXt),(Tt)(tX电子科技大学随机过程的分类2)独立过程对任意整数n及任意n个不同的,随机变量Ttin1,,ttXX相互独立.3)独立增量过程对任一正整数n及任意随机变量,,21intttTt12312,,,nnttttttXXXXXX相互独立.过程增量重要子类有泊松过程，维纳过程.电子科技大学随机过程的分类4)马尔科夫过程.5)正态过程……