电子科技大学-随机过程-覃思义-第四章sjgc4.2

电子科技大学均方微积分应用实例一数学模型:Black-Scholes期权定价公式1997年的诺贝尔经济学奖获得者，美国学者：RobertC.Merton;Myron.Scholes以及FisherBlack(1938-1995)创建的了著名的Black-Scholes理论.§4.2二阶矩随机变量空间及均方极限电子科技大学σ—股票收益率的波动率；Wt—标准布朗运动，表示了对股票收益率的随机干扰作用.Black-Scholes在股票价格的变化是一种几何布朗运动的假定下，从机理上导出一个随机微分方程tttdWdtSdSμ—股票的期望收益率，电子科技大学奠定了研究新型衍生证券设计的新学科—金融工程的基础.被誉为“华尔街第二次革命”；人类有史以来使用最频繁的数学工具；由Merton进一步完善和系统化，创建了Black-Scholes理论.由此得到期权价格作为时间和股价的函数所满足的抛物型方程及显示解，称为Black-Scholes公式。电子科技大学均方微积分应用实例二L考虑一个时不变系统x(t)y(t)对任意常数τ,输入和输出满足)]([)(txLty若L是积分算子,则dttxtyT0)()(若L是微分算子,则dttdxty)()(电子科技大学对于随机输入信号X(t)如何进行微积分运算?普通微积分学中的微分、积分、连续等概念都是建立在极限的基础上，而极限定义又取决于实数(复数)域上点间距离的定义.本章着重介绍二阶矩过程的随机分析—均方意义下的微积分.一、二阶矩随机变量空间H电子科技大学为定义关于随机变量的距离以及极限概念,引进定义4.2.1称定义在概率空间(Ω,F,P)上的具有有限二阶矩的随机变量的全体组成的集合H={X|E[|X|2]+∞}为二阶矩随机变量空间.注在H中称X与Y相等,若.).(1}{eaYXYXP，记为电子科技大学定理4.2.1H为线性空间,即设X,Y∈H,则对任意复数a,b,有aX+bY∈H.证:由许瓦兹不等式][][]}[{222YEXEYXE][2bYaXE][][2][2222YEbYXEbaXEa][][][2][222222YEbYEXEbaXEa即有aX+bY∈H.电子科技大学引理4.2.1对X∈H,令21)]([ˆ2XEX,,)1HYX;)()(YXYXEYXE,)2HX.)()(XXEXE证由许瓦兹不等式证得(1),在(1)中取Y=1得(2)引理4.2.2如上定义的||·||是范数,即有，且，正定性：0)1XHX电子科技大学;,)2XaaXHXCa，齐次性：.,)3YXYXHYX，三角不等式：；1}0{0XPX证(1)和(2)显然.(3)||X+Y||2=E[|X+Y|2]≤E[|X|2]+2E[|XY|]+E[|Y|2]222)(2YXYYXX21)]([ˆ2XEX结论H构成一个线性赋范空间.电子科技大学定理4.2.2对任意X,Y∈H,令YXYXdˆ),(则d(X,Y)是H中的距离.即对任意X,Y,Z∈H,有1)非负性d(X,Y)≥0，X=Y(a.e)d(X,Y)=0；3)三角不等式d(X,Z)≤d(X,Y)+d(Y,Z).2)对称性d(X,Y)=d(Y,X)；将H构成一个距离空间电子科技大学二、随机变量序列的均方极限定义4.2.2设Xn,X∈H，n=1,2,…,如果)(,0lim),(limXXXXdnnnn称Xn均方收敛于X,记为XXnnl.i.m注1按H中距离定义知;0}{lim)(2XXEnn电子科技大学注2均方极限具有唯一性,即若和XXnnl.i.m同时成立，YXnnl.i.m.).(eaYX则)(0),(),(),(nasYXdXXdYXdnn10}{0),(2YXPYXEYXd定理4.2.3(柯西均方收敛准则)H中随机变量序列{Xn}均方收敛的充要条件为0lim,nmnmXX二重极限电子科技大学称{Xn}为均方收敛基本列(柯西列).此定理称为完备性定理,说明H是完备的线性赋范空间.，若XXnnl.i.mmnmnXXXXXX因证仅证必要性.0lim,nmXXnm电子科技大学EX.1相互独立随机变量序列Xn～221110nnnn=1,2,…,11][222nnXEn,2,1,nHXn)2(222nnmmnmXXXXEXX由于2,11211121nmmnnm故{Xn}不均方收敛..电子科技大学EX.2设{Xn}是相互独立同分布随机变量序列，均值为μ，方差为1，定义nkknXnY11证明Yn均方收敛于μ.证])()[(][22nnnnYYEYEY])1()1[(11nkknkkXnXnEninkkiXXEn112)])([(1电子科技大学三、随机变量序列的均方极限性质定理4.2.4(均方极限的线性性质)，设XXnnl.i.m则是复常数且,,,l.i.mbaYYnn;)(l.i.mbYaXbYaXnnnninkkiXXCovn112),(1,1)(112nXDnnkk.0lim2nnY.m.i.lnnY电子科技大学)()(bYaXbYaXnn证)()(YYbXXann0nnasnaXXbYY定理4.2.5*(均方极限的数字特征)，设XXnnl.i.m则且,l.i.mYYnn);()(lim)1,YXEYXEnmnm)(lim)2nnXE);()l.i.m(XEXEnn乘积性质电子科技大学)(lim)32nnXE);()l.i.m(22XEXEnn)(lim)4nnXD);()l.i.m(XDXDnn则，若实随机变量,)5HXXn].[lim)()(milnitXnnitXnXiteEeEeE证1）仅证实随机变量的情形)()(][XYYXEXYEYXEnmnm[]mnmnmnEXYXYXYXYXYXYXYXY电子科技大学YXXEYYXEYYXXEmnnm)()())((YXXYYXYYXXmnnm,,YXHYX，，因.)1,,得证令nm在1）中令Yn≡1，得2).在1）中令Yn≡Xn，得3).由1)与2)可证4).)()()()5itXitXitXjtXeeEeEeEnn电子科技大学)]1([)(XXititXneeE)(]1[)(XXtEeEnXXitn0nasntXX注随机变量序列{Xn}均方收敛,其相应的数学期望数列,方差数列及特征函数列也收敛.EX.4设{Xn,n≥1}是泊松随机变量序列,证明：该序列的均方极限服从泊松分布.证记,)(,)(nnXEXE，因XXnnl.i.m)(limnnXE);()l.i.m(XEXEnn定理5之2）,limnn即有的特征函数和为和设,)()(XXuunn)(lim)(limniuXnnneEu)(lim)1()1(lim)1(ueeeiuiunniuneeen因特征函数与分布函数一一对应,(u)是泊松分布随机变量的特征函数，故X服从泊松分布.定理5之5）定理4.2.6(洛易夫均方收敛判别准则)随机变量序列{Xn}∈H均方收敛的充分必要条件是极限)(lim,nmnmXXE存在.将随机变量序列的均方收敛性转化为自相关函数的收敛性问题.电子科技大学证必要性由定理4.2.5之1)即得.由设充分性,)(lim,cXXEnmnm)(22nmnmXXEXX)()()()(22nmnmmnXXEXXEXEXE,0asnm由柯西均方收敛准则知{Xn}均方收敛.电子科技大学E.X.3设{Xn,n≥1}∈H,又{an,n≥1}为复数列,试研究随机变量序列)(),(nmYYYEnmR解][11mknrrkrkXXaaEmknrrkrkXXEaa11)(mknrXrkrkRaa11),(均方收敛的条件.}1,{1nkkknnXaY由均方收敛准则知存在，)(lim,nmmnYYE.),(11收敛krXrkrkRaa{Yn,n≥1}均方收敛电子科技大学电子科技大学思考题：1）在二阶矩随机变量空间除定义均方极限外，还可以定义其他极限吗？2）均方极限与普通函数极限有什么相似之处？3）若是否有,l.i.mXXnn?)(][limXYEYXEnn