电子科技大学-随机过程-覃思义-第三章sjgc3.2

电子科技大学§3.2维纳过程一、维纳过程的数学模型将一个小球投入无限大高尔顿钉板内,小球各以的概率向左或向右移动一格.21EX.1(高尔顿钉板模拟试验)维纳过程是英国植物学家罗伯特.布朗在观察漂浮在液面的花粉运动—布朗运动规律时建立的随机游动数学模型.电子科技大学.1;,1)(层向左位移一格在第，层向右位移一格在第kkkXP{X(k)=i}－11X(k)2/12/1§3.3维纳过程电子科技大学{X(k),k∈N+}是一个独立随机过程,令nkkXnY0),()({Y(n),n∈N+}是一个平稳独立增量过程.小球在第n次碰撞后所处位置,0)]([1nkkXEnYE均值函数为,))(()]([1nknkXDnYD方差函数为§3.3维纳过程§3.3维纳过程电子科技大学由独立同分布中心极限定理知)()()(1yynkXPynnYPnknas,2,1,)()(*nnnYnY即依分布收敛于标准正态分布随机变量.参见讲义P33花粉微粒的一维运动§3.3维纳过程电子科技大学泛函中心极限定理(functionalcentrallimitTheorem)设随机变量序列{Xt,t=1,2,…}是相互独立同分布的，且满足：;0)()1tXE;)()()222ttXEXD设r为闭区间[0,1]上的任一正实数，则统计量[]0()TrTttRrX).()(,rWrRTasT弱收敛于§3.3维纳过程电子科技大学满足：其中]1,0[),(rrW（1）W(0)=0;（2）E{W(r)}=0;（4）具有平稳独立增量;（3）W(r)～N(0,σ2r),(σ＞0).D[W(r)]随时间的推移而增大二、维纳过程的定义定义3.2.1若随机过程{W(t),t≥0}满足上条件(1)~(4)称{W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程（或布朗运动）.§3.3维纳过程电子科技大学维纳过程应用广泛：电路理论、通信和控制、生物、经济管理等.维纳过程的研究成果应用于计量经济学，使其方法论产生了一次飞跃，成功地应用于非平稳的经济过程，如激烈变化的金融商品价格的研究。§3.3维纳过程电子科技大学三、维纳过程的分布1.一维分布：W(t)～N(0,σ2t)；2.增量分布：W(t)－W(s)～N(0,σ2|t－s|);设t＞s，因W(0)=0,且W(t)是平稳独立增量过程，故有相同分布N(0,σ2(t－s)).)()()()(sWsstWsWtW)()0()(stWWstW与§3.3维纳过程电子科技大学3.维纳过程是正态过程.证设维纳过程{W(t),t≥0}的参数是σ2，,21ntttn及任取),()(ˆ1kkktWtWX)),(,0(~12kkkttNX则相互独立，且有nkt,,2,1,00kkXXXtW21)(§3.3维纳过程电子科技大学)()()(21ntWtWtW11111001110001100001nXXX21正态随机向量的线性变换服从正态分布。四、维纳过程的数字特征1.E[W(t)]=0;D[W(t)]=2t2.C(s,t)=R(s,t)=σ2min(s,t)维纳过程是平稳独立增量过程§3.3维纳过程电子科技大学EX.2设{W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程,求下列过程的均值函数和相关函数.1)X(t)=W2(t),t≥0；.0),1()()2tttWtX解1）mX(t)=E[X(t)]=E[W2(t)]=D[W(t)]+{E[W(t)]}2=σ2t.)]()([)]()([),(22tWsWEtXsXEtsRX})]()()()[({22sWsWtWsWE(st)§3.3维纳过程电子科技大学)]}()()[({2)]([})]()()[({3422sWtWsWEsWEsWtWsWE)]([})]()({[)]([422sWEsWtWEsWE独立增量)),(min2(),(24tssttsRX故)2(3)(242422sstssts其中因W(t)～N(0,σ2t)；W(t)－W(s)～N(0,σ2|t－s|)§3.3维纳过程电子科技大学另因若X～N(0,σ2),有6,4,2,1)3)(1(,5,3,1,0)(nnnnXEnn.0,0)]1([)]([)()2ttWtEtXEtmX)]1()1([)]1()1([),(tWsWstEttWssWEtsRX).,min()1,1min(22tstsst