北师大数学八年级上册第二章二次根式的乘除运算--(提高)

二次根式的乘除运算—知识讲解（提高）【学习目标】1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.要点二、二次根式的除法1.除法法则：()aaababbb或（a≥0，b0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.要点三、分母有理化1.分母有理化把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.2.有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba等分别互为有理化因式.②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如ab与ab，abab与，axbyaxby与分别互为有理化因式.要点诠释：分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除运算1.（1）21521)74181(2133（2）243)2()()(aaa【答案与解析】（1）原式=7111111171123()3()22872282711=34(2)原式=22122aaaaaa【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.举一反三【变式】bbabaxxba5433622222【答案】原式=22225214633abxabxabb=225()()552263()21812ababxbbbxabab2.（2016春•潮南区月考）化简：4x2．【思路点拨】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【答案与解析】解：4x2=4x2÷12×3=x2=xy．【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．举一反三：【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．类型二、分母有理化3.把下列各式分母有理化：2(1)522(2)abab(3)abab【思路点拨】找分母有理化因式.【答案与解析】（1）552555252（2）bababababababababababa)()()(222222（3）bababababababa)()()()(【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，ab与ab，ab与ab，ab与ab都是互为有理化因式.举一反三：【变式】（2014春•隆化县校级期末）阅读材料，并解决问题．定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．解：原式==+运用以上方法解决问题：（1）将分母有理化；（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”）（n≥2，且n为整数）（3）化简：+++…+．【答案】解：（1）===2﹣；（2）∵=+，=+，又＜，∴＜，∵=+，=+，∴＜，故答案为：＜，＜；（3）原式=++…+=﹣1+﹣+﹣+…+﹣=﹣1.4.已知2323x，2323y，求下列各式的值：（1）xyxy；（2）223xxyy.【思路点拨】先把x、y的值分母有理化，再分别代入所求的两个式子即可.【答案与解析】2323743,7432323xy（1）7437437312743743xyxy2222(2)3(743)3(743)(743)(743)194xxyy【总结升华】此题考查分母有理化与二次根式乘除的应用.二次根式的乘除运算—巩固练习（提高）【巩固练习】一.选择题1.若20,(1)xxx化简的结果是（）.A．-1B.1C.2x-1D.1-2x2.下列计算正确的是()A．B．C．D．3.计算1(0,0)bababaab等于（）.A．21ababB.21ababC.1abbD.bab4.把mm1根号外的因式移到根号内，得（）．A．mB．mC．mD．m5.（2016春•长沙校级期中）已知a=，b=﹣2，则a，b的关系是（）A．a=bB．a=﹣bC．a=D．ab=﹣16.若223(22)0abab,那么ba的值是（）.A．1B.-1C.526D.265二、填空题7.（2016•聊城）计算：=________.8.=________.9.若20042004xx与互为相反数，则x=_____________.10.已知23565xxx，则=___________.11.计算(-)(2)(0)baxxbxabxaxa)（=___________________________.12.（2014春•张家港市校级期末）使等式=成立的实数a的取值范围是．三、综合题13.若23324yxxx，求xy的值.14.若9139-13,4312ababab和的小数部分分别是和求的值.15.（2014春•团风县校级期中）已知x为奇数，且=，求•．【答案与解析】一、选择题1．【答案】A【解析】0,=1(1)1xxxxx原式所以选A.2．【答案】B3．【答案】A【解析】原式=111bbaabababa=211baababaaab.4．【答案】C5．【答案】B【解析】解：∵a===2﹣，b=﹣2，∴a=﹣b，故选：B．6．【答案】D【解析】230,220abab23,22abab.则32a，23b，则23(32)233232(32)ba=265.二、填空题7．【答案】12【解析】解：=3×÷=3=12．8．【答案】-69．【答案】0【解析】因为20042004xx与互为相反数，所以200420040xx则20,0xx.10.【答案】1【解析】2235,65(3)4xxxx=54111．【答案】22abx【解析】因为x0,所以0,0ab，所以(-)(2)(0)baxxbxabxaxa)（=22222abxbxxabbxababxxaaa12．【答案】a＞2．【解析】解：根据题意得：解得：所以不等式组的解集为：a＞2．故答案为：a＞2．三、解答题.13.【解析】因为23324yxxx，所以2x-3≥0,3-2x≥0，即x=32，y=102则xy=3661522510101022.14.【解析】因为9139-13ab和的小数部分分别是和，所以91312133a9135413b所以4312(133)(413)4(133)3(413)12abab=61337.15.【解析】解：∵=，∴6≤x＜9，∵x为奇数，∴x=7，则•=8×=12．