加法定理证明

随机事件的频率FrequencymnA=“出现正面”()nfA()nmfA事件A出现的次数试验总次数n随机试验抛掷一枚均匀的硬币试验总次数n将硬币抛掷n次随机事件事件A出现次数m出现正面m次随机事件的频率德.摩根试验者抛掷次数n出现正面的次数m出现正面的频率m/n204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼0.49981499430000抛掷硬币的试验Experimentoftossingcoin历史纪录程序模拟抛掷硬币模拟试验随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A发生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的增加更加明显频率和概率频率的稳定性事件的概率事件A的频率稳定在数值p，说明了数值p可以用来刻划事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A的概率对任意事件Ａ，在相同的条件下重复进行n次试验，事件Ａ发生的频率m/n，随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数附近摆动那么称p为事件Ａ的概率()PAp概率的统计定义当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况，从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验，其结果如表1-2：发芽率发芽粒数种子粒数2510701303107001500200030002496011628263913391806271510.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.9030.905从表1-2可看出，发芽率在0.9附近摆动，随着n的增大，将逐渐稳定在0.9这个数值上.概率的统计定义频率稳定于概率()nmfAn()pPA性质（1）01p（2）()1,()0PP（3）若A，B互斥，则()()()PABPAPB有限性每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相同，即121()()()nPAPAPAn其中,.iiA1,2,,in古典概率模型每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间Ω是个有限集等可能性12,,,n设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn，而且这些事件的发生具有相同的可能性()AmPAn事件包含的基本事件数试验的基本事件总数古典概型的概率计算确定试验的基本事件总数事件Ａ由其中的m个基本事件组成确定事件A包含的基本事件数抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数,求“出现的点数是不小于3的偶数”的概率．Ａ=“出现的点数是不小于3的偶数”古典概率的计算：抛掷骰子事件A试验抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数样本空间={4，6}Ω={1，2，3，4，5，6}n=6m=2事件A的概率21()63mPAn设在100件产品中，有4件次品，其余均为正品．4()0.04100PA3100nC396BmC3963100()CPBC古典概率的计算：正品率和次品率n＝100这批产品的次品率任取3件，全是正品的概率任取3件，刚好两件正品的概率mA＝4219643100()CCPCC21964CmCC3100nC古典概率的计算：有放回抽样和无放回抽样设在10件产品中，有2件次品，8件正品．A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”第一次抽取后，产品放回去第一次抽取后，产品不放回去1010n109n82Am82Am82()0.161010PA82()0.1778109PA古典概率的计算：投球入盒把3个小球随机地投入5个盒内。设球与盒都是可识别的。A=“指定的三个盒内各有一球B=“存在三个盒，其中各有一球35n35n353!BmC3!Am3533!()5CPB33!()5PAabcde123古典概率的计算：生日问题某班有50个学生，求他们的生日各不相同的概率（设一年365天）分析此问题可以用投球入盒模型来模拟50个学生365天50个小球365个盒子503655050!()365CPA0.03相似地有分房问题房子盒子人小球生日问题模型某班有n个学生，设一年N天,则他们的生日各不相同的概率为!()nNnCnPAN至少有两人生日相同的概率为!()1nNnCnPANN1020233040500.120.410.510.710.890.97()PA可能吗？没问题！139!AmC139!3()10!10ACmPAn古典概率的计算：抽签10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求A={第五个抽签的学生抽到入场券}的概率。10!n基本事件总数基本事件总数第五个学生抽到入场券另外9个学生抽取剩下9张35AmP353()0.485PPA1224PPmB312245)(PPBP＝0.192古典概率的计算：数字排列用1，2，3，4，5这五个数字构成三位数没有相同数字的三位数的概率35n没有相同数字的三位偶数的概率35n个位百位十位匹配问题某人写了4封信和4个信封，现随机地将信装入信封中，求全部装对的概率。解设“全部装对”为事件A总的基本事件数为4！A所包含的基本事件数为1所以11()4!24PA概率的古典定义性质（1）0()1PA（2）()1,()0PP（3）若A，B互斥，则()()()PABPAPB()AmPAn事件包含的基本事件数试验的基本事件总数几何概型GeometricProbability将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中()()()ALAPASLS的几何度量的几何度量几何度量--------指长度、面积或体积特点有一个可度量的几何图形S试验E看成在S中随机地投掷一点一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0,5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间[2,3]上的概率。S[0,5)=[2,3]A()LS=5-0=5()LA=3-2=1()PA()()LALS15几何概型的计算01234甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。几何概型的计算：会面问题解设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为x及y（分钟）,则030x030y10xy二人会面22230(3010)5930p30301010yx几何概型的计算：蒲丰投针问题设平面上画着一些有相等距离2a（a0）的平行线，向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（la）的针，求针与直线相交的概率。θd2al解设针的中点离较近直线的距离为d，针与较近直线的交角为θ。则d与θ的可取值为0da,0θπ所求概率为针与直线相交0dlsinθdaθπ0sin2()ldlPAaa几何概型性质（1）0()1PA（2）()1,()0PP（3）若A，B互斥，则()()()PABPAPB()()()ALAPASLS的几何度量的几何度量一楼房共14层，假设电梯在一楼启动时有10名乘客，且乘客在各层下电梯是等可能的。试求下列事件的概率：A1={10个人在同一层下}；A2={10人在不同的楼层下}；A3={10人都在第14层下}；A4={10人恰有4人在第8层下}。总的基本事件数：1014各事件含有的基本事件数分别为：114C1014PA1A2A3A41461013C解所以，各事件的概率为：………..1、从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四只，问能凑成两双的概率是多少？总的基本事件数：有利事件数：410C25C解设“能凑成两双鞋”为事件A所以，所求概率为254101()21CPAC2，一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？ABCxOr解以A为起点，逆时针方向为正，B至A的曲线距离为x，B至A的曲线距离为y，则0,2xyr∆ABC为锐角三角形0xrryrx或2rxrxryr2，一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？∆ABC为锐角三角形0xrryrx或2rxrxryr解……..所求概率为rr2r2r()1()()4SAPAS3，掷两颗骰子，求事件“至少有一颗出现6点”，“点数之和为8”的概率。解总的基本事件数为2636事件A“至少出现一个6点”所包含的基本事件数为1125111CC事件B“点数之和为8”所包含的样本点为(2,6),(3,5),(4,4),(6,2),(5,3)所以115(),()3636PAPB4，包括甲，乙在内的10个人随机地排成一行，求甲与乙相邻的概率。若这10个人随机地排成一圈，又如何呢？解总的基本事件数为10!排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为811892PCC排成圈时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为8118189282PCCPC所求概率为12(1),(2)59PP给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，对于任意一个事件Ａ，赋予一个实数()PA，如果)(P满足下列三条公理，非负性：规范性：Ｐ(Ω)=1可列可加性：,,21AA那么，称为事件Ａ的概率．()PA概率的公理化定义Ｐ(Ａ)≥0两两互不相容时Ｐ（Ａ1∪Ａ2∪…）=Ｐ（Ａ1）+Ｐ（Ａ2）+…证明由公理3知()()()()PPPP所以()0P()0P概率的性质不可能事件的概率为零()0P注意事项但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ例如：一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0,5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可能发生。设A1，A2，…,An两两互不相容，则11()()nniiiiPAPA11()()niiiiPPAA证明在公理3中,取Ａi=（i=n+1,n+2,…）.11()()niiinPPA1()niiPA有限可加性()()()PABPAPBAB若AB，则P(B－A)=P(B)－P(A))(ABAB()(())()()PBPABAPAPBAＰ（Ｂ－Ａ）＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）AB差事件的概率对任意两个随机事件Ａ、Ｂ，有BA()ABAB()(())()()PABPABABPAPBAB)()()(ABPBPABBPBA加法定理)()()()(ABPBPAPBAP()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPBCPACPABCBCA加法定理)(1)(APAP证明由于Ａ与其对立事件互不相容，由性质2有)()()(APAPAAP而1)(,PAA所以1)()(APAP逆事件的概率AA袋中有20个球，其中15个白球，5个黑球，从中任取3个，求至少取到一个白球的概率．设Ａ表示至少取到一个白球，Ａi表示刚好取到i个白球，i＝0，1，2，3，则方法１（用互不相容事件和的概率等于概率之和）Ｐ(A)＝Ｐ(A1∪Ａ2∪Ａ3)＝Ｐ(Ａ1)＋Ｐ(Ａ2)＋Ｐ(Ａ3)12155320CCC解21155320CCC315320CC方法２（利用对立事件的概率关系）350320()1()1()1CPAPAPAC甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为0.85，乙击中的概率为0.8．两人都击中的概率为0.68．求目标被击中的概率．解设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，Ｃ表示目标被击中，则)()()()()(ABPBPAPBAPCP＝0.85＋0.8－0.68＝0.97已知P（A）=0.3,P(B)=0